Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Transformadas Inversas

Ver Teoria
Exercício 2134567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344

Enunciado

Calcule a transformada inversa da função abaixo utilizando o conceito de convolução.

H s = 1 s 2 ( s 2 - 1 )

Passo 1

Vamos encontrar a função h ( t ) , tal que

L y h s = 1 s 2 ( s 2 - 1 )

Olhando para a função, conseguimos reconhecer o seguinte produto:

L y s = 1 s 2   ̇ 1 ( s 2 - 1 )

Na primeira fração, temos uma transformada de t e na segunda, temos uma transformada de seno hiperbólico. Podemos escrever então:

L y s = L t s ∙ L s e n h t ( s )

Então, podemos dizer que:

y = t ⏟ f ( t ) * s e n h t ⏟ g ( t )

É muito importante que você escreva o produto de convolução com esse símbolo * , para não confundi-lo com o produto comum!

Para calcular esse produto, usamos sua definição:

y = ∫ 0 t f t - τ g τ d τ

Temos

f t - τ = t t - τ = t - τ

g τ = s e n h τ

Vamos agora calcular essa integral.

Passo 2

Temos:

h t = ∫ 0 t t - τ senh ⁡ τ d τ = ∫ 0 t t - τ e τ - e - τ 2 d τ

Agora temos que resolver essa integral! Lembre-se de que estamos integrando em relação a τ .

h = t 2 ∫ 0 t e τ - e - τ d τ - 1 2 ∫ 0 t τ e τ - e - τ d τ

Fazendo a integral da direita por partes, vamos encontrar:

h = t 2 e τ + e - τ τ = o τ = t - τ e τ + e - τ - e τ - e - τ 2 τ = o τ = t

h = t ( cosh ⁡ t - 1 ) - t cosh ⁡ t - s e n h   t  

Logo, temos que:

h = s e n h   t - t

Poderíamos encontrar o resultado de outra forma também, basta utilizarmos o conceito de frações parciais.

Resposta

h ( t ) = senh ⁡ t - t

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 1 a 10, encontre a transformada de Laplace inversa da função dada.5. F s = 2 s + 2 s 2 + 2 s + 5
Em cada um dos problemas de 1 a 10, encontre a transformada de Laplace inversa da função dada.1. F s = 3 s 2 + 4
Em cada um dos problemas de 1 a 10, encontre a transformada de Laplace inversa da função dada.6. F s = 2 s - 3 s 2 - 4
Em cada um dos problemas de 1 a 10, encontre a transformada de Laplace inversa da função dada.4. F s = 3 s s 2 - s - 6
Em cada um dos problemas de 1 a 10, encontre a transformada de Laplace inversa da função dada.3. F s = 2 s 2 + 3 s - 4