Exercícios Resolvidos de Transformadas Inversas

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Enunciado

( b ) Usar a propriedade de convolução para calcular a inversa da transformada de Laplace de

F s = 1 s + 1 s + 2

Passo 1

Cuidado! Agora temos uma F ( s ) aí:

F s = 1 s + 1 s + 2

Se obsevarmos que F s é um produto F s = F 1 ( s ) F 2 ( s ) , então podemos chamar F 1 s = 1 s + 1 e F 2 s = 1 s + 2 .

Desta forma, sejam os pares de transformada L f 1 ( t ) = F 1 s e L f 2 ( t ) = F 2 ( s ) . Então, o produto das transformadas de Laplace equivale à convolução dos sinais no tempo:

L ( f 1 * f 2 ) ( t ) = F 1 s F 2 ( s )

Passo 2

Vamos encontrar quem são f 1 ( t ) e f 2 ( t ) :

F 1 s = 1 s + 1 → f 1 t = e - t ,   t ≥ 0

F 2 s = 1 s + 2 → f 2 t = e - 2 t ,   t ≥ 0

Passo 3

E, assim, buscamos a integral de convolução:

f t = f 1 * f 2 t = ∫ 0 t f 1 τ f 2 t - τ d τ

f t = ∫ 0 t e - τ e - 2 ( t - τ ) d τ

f t = ∫ 0 t e - 2 t e τ d τ

f t = e - 2 t . e τ t 0

f t = e - 2 t e t - 1 = e - t - e - 2 t ,   t ≥ 0

Resposta

f t = e - t - e - 2 t ,   t ≥ 0

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