UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais A, P3 - 2015.1, Questão 2
Encontre a transformada de Laplace inversa de
Passo 1
Oiie, tudo certinho?
O enunciado nos dá a seguinte função
e, precisamos encontrar a transformada inversa definida como
Nós precisamos reescrever a função que o enunciado nos dá e então identificar ela através de transformadas conhecidas! Vamos lá!
Passo 2
A primeira coisa que podemos fazer é evidenciar um no denominador de nossa transformada, temos que
no numerador temos que , e a nossa transformada pode ser escrita como
ainda precisamos reescrever mais um pouco! Vamos tentar completar o quadrado no denominador, temos que
Portanto, a nossa transformada se torna
Antes de continuarmos, vamos ver quais funções conhecidas nos serão úteis! Saca só!
Passo 3
Temos que
assim como
e, também que
Vamos comparar os resultados acima com a nossa transformada, temos que
pelos denominadores podemos identificar que e que . Ou seja, podemos subtrair e somar no primeiro termo, e dividir e multiplicar o segundo termo por , para obtermos o formato das transformadas conhecidas acima, saca só! Temos que
Isso faz surgir um segundo termo que ainda não está no formato, mas podemos dividir e multiplicar o segundo termo por denovo, obtendo
Maravilha! Vamos aplicar a transformada inversa de ambos os lados! E obter o nosso resultado final!
Passo 4
Aplicando a transformada inversa em todos os termos, temos que
o primeiro termo pode ser identificado como
o segundo é tal que
e, como temos que e , identificando que e como temos
usando então que
portanto, usando a terceira transformada conhecida que identificamos nos passos anteriores, obtemos que
Ou seja, finalmente, temos que a nossa transformada inversa é simplesmente
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!