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Exercícios Resolvidos de Transformadas Inversas

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Enunciado

UNB, Sem Campus, Cálculo 2, Listas Fundamentos Matemáticos da Física B - Lista de Exercícios 5, Questão 12b

Inverta as seguintes transformadas usando a convolução.

b ) 2 π s s 2 + π 2 2

Passo 1

Fala aí gente, tudo certinho?

Nessa questão recebemos uma função F ( s ) dada por:

H s =   2 π s s 2 + π 2 2

O objetivo é que determinemos quem é a h ( t ) tal que:

L h t = H ( s )

Ou seja, queremos descobrir quanto a vale a inversa de F ( s ) :

L - 1 H s = h ( t )

Tranquilo?

Pra fazer isso o enunciado nos pede para usar a convolução, então vamos dar uma revisada nessa ideia.

Basicamente, se:

F s = L { f t } G s = L { g t }

Então, dizemos que a convolu��ão de f e g obedece:

L - 1 F s ⋅ G s = ( f * g ) ( t )

E, pra calcular a convolução, basta fazer:

f * g t = ∫ 0 t f τ g t - τ d τ = ∫ 0 t f t g t - τ d τ

Ou seja, no fim da contas, o que realmente estamos afirmando e que usaremos pra matar o nosso problema é que:

L - 1 F s ⋅ G s = ∫ 0 t f τ g t - τ d τ = ∫ 0 t f t g t - τ d τ

Beleza? Então vamo nessa!!

Passo 2

Bom, temos que:

H s =   2 π s s 2 + π 2 2

Pra usar a ideia da convolução, precisamos separar H ( s ) como o produto de duas funções de s que conhecemos as transformadas de antemão.

Como:

s s 2 + ω 2 = L - 1 { cos ⁡ ω t }

E também:

ω s 2 + ω 2 = L - 1 { s e n   ω t }

Podemos separar o produto das funções que estamos procurando como:

F s = s s 2 + π 2

∴ f t = c o s ( π t )

E:

G s = π s 2 + π 2

∴ g t = s e n ( π t )  

Dessa forma:

H s = 2 ⋅ F s ⋅ G ( s )

Portanto, como vimos que:

L - 1 F s ⋅ G s = ∫ 0 t f τ g t - τ d τ = ∫ 0 t f t g t - τ d τ

E, usando a linearidade da transformação (é o que nos permite colocar a constante multiplicativa pra fora), temos:

h t = 2 ⋅ ∫ 0 t cos ⁡ π t - τ ⋅ s e n π τ d τ

Show de bola! Nossa missão é matar essa integral 😊

Passo 3

Queremos resolver:

h t = 2 ⋅ ∫ 0 t cos ⁡ π t - τ ⋅ s e n π τ d τ

Como:

cos ⁡ π t - π τ = cos ⁡ π t ⋅ c o s π τ + s e n π t ⋅ s e n π τ

Vamos ter:

∫ 0 t cos ⁡ π t - τ ⋅ s e n π τ d τ

= cos ⁡ π t ⋅ ∫ 0 t c o s π τ ⋅ s e n   π τ ⋅ d τ + s e n   π t ⋅ ∫ 0 t s e n 2 π τ ⋅ d τ

Usando as seguintes relações trigonométricas:

cos ⁡ θ ⋅ s e n θ = s e n 2 θ 2   s e n 2 θ = 1 - cos ⁡ 2 θ 2

Logo, teremos:

cos ⁡ π t ⋅ ∫ 0 t s e n 2 π τ 2 ⋅ d τ + s e n   π t ⋅ ∫ 0 t 1 - cos ⁡ 2 π τ 2 ⋅ d τ

⇒ cos ⁡ π t ⋅ - cos ⁡ 2 π τ 4 π 0 t + s e n   π t ⋅ τ 2 - s e n 2 π τ 4 π 0 t

= cos ⁡ π t 4 π ⋅ 1 - cos ⁡ 2 π t + s e n   π t 4 π ⋅ 2 π t - s e n 2 π t

Mas, manipulando um pouco temos:

= 1 4 π ⋅ c o s π t - 2 π t ⋅ s e n ( π t ) - cos ⁡ π t ⋅ cos ⁡ 2 π t + s e n   π t ⋅ s e n   2 π t

= 1 4 π ⋅ cos ⁡ π t - 2 π t ⋅ s e n ( π t ) - cos ⁡ 2 π t - π t

Logo:

= 2 π t ⋅ s e n   π t 4 π ⋅ 2

∴ ∫ 0 t cos ⁡ π t - τ ⋅ s e n π τ d τ = t ⋅ s e n π t 2

Como:

h t = 2 ⋅ ∫ 0 t cos ⁡ π t - τ ⋅ s e n π τ d τ

Temos que:

h t = t ⋅ s e n π t

Uhuuuul! Terminamos galera! Vocês curtiram? Responde Aí!

Resposta

t ⋅ s e n π t

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