UNB, Sem Campus, Cálculo 2, Listas Fundamentos Matemáticos da Física B - Lista de Exercícios 5, Questão 12c
Inverta as seguintes transformadas usando a convolução.
Passo 1
Ooi pessoal, tudo na paz?
Nessa questão recebemos uma função dada por:
O objetivo é que determinemos quem é a tal que:
Ou seja, queremos descobrir quanto a vale a inversa de :
Tranquilo?
Pra fazer isso o enunciado nos pede para usar a convolução, então vamos dar uma revisada nessa ideia.
Basicamente, se:
Então, dizemos que a convolução de e obedece:
E, pra calcular a convolução, basta fazer:
Ou seja, no fim da contas, o que realmente estamos afirmando e que usaremos pra matar o nosso problema é que:
Beleza? Então vamo nessa!!
Passo 2
Bom, temos que:
Pra usar a ideia da convolução, precisamos separar como o produto de duas funções de que conhecemos as transformadas de antemão.
Como:
E:
Podemos separar o produto de funções como sendo:
E:
Assim, já que:
E, como vimos no passo , vale que:
Prontinho! Precisamos calcular essa integral!
Passo 3
Queremos calcular:
Usando que:
Temos que:
Além disso,
Logo:
Manipulando algebricamente, chegamos a:
É isso aí gente! Terminamos mais uma 😊
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