UTFPR, Sem Campus, Equações Diferenciais Ordinárias, Listas 1, Questão 4n
Nos problemas de (a) até (p) use o teorema da transformada inversa para encontrar .
(n)
Passo 1
Eaew, tudo certinho contigo?
Temos que usar o teorema da transformada inversa para encontrar a :
Vamos manipular essa função, se necessário, e então utilizar a tabela de transformada de Laplace. Vem comigo!
Passo 2
Para podermos identificar a nossa função, primeiro temos que reescrever a fração dentro da transformada inversa, um primeiro movimento interessante que podemos fazer é expandir o polinômio
de forma que podemos reescrever nossa transformada como
Então, escrevendo como soma de frações parciais
Para encontrar A, B e C, temos que
que resulta na igualdade
Então, igualando os coeficientes de e constantes de ambos os lados, temos que
precisamos resolver o sistema para todas as constantes! Bora lá!
Passo 3
Temos da primeira equação que
usando isso na segunda equação, temos que
ou simplesmente
Isolando uma das constantes temos que
e, como , temos que
Usando a terceira equação, temos então que
simplificando, temos que
Que resulta em , e portanto, temos que
e, finalmente, podemos achar como
e, a nossa transformada inversa se torna
Agora podemos começar a identificar os termos! Saca só!
Passo 4
Lembrando que a transformada inversa da soma é a soma das transformadas
Temos que, se é a transformada de Laplace de , então dizemos que é a transformada inversa de Laplace da função . Então, sabendo disso, já podemos utilizar a tabela para obter a . Temos que
e, desta forma, temos finalmente que
ou resumindo, temos que
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!