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Exercícios Resolvidos de Transformadas Inversas

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Enunciado

UNB, Sem Campus, Cálculo 2, Listas Fundamentos Matemáticos da Física B - Lista de Exercícios 5, Questão 10d

Suponha que F s =   L { f t } existe para s > a ≥ 0 .

d ) Utilize os resultados das letras a ) ,   b ) e c ) para calcular a transformada de Laplace inversa das funções

F s = 2 s + 1 4 s 2 + 4 s + 5       e       F s = 3 2 s - 1 2 + 4 2 s - 1 4 + 4 2 s - 1 2

Passo 1

Fala aí galera, tudo tranquilinho com vocês?

Nessa questão recebemos duas funções que já são transformadas de Laplace:

F s = 2 s + 1 4 s 2 + 4 s + 5 F s = 3 2 s - 1 2 + 4 2 s - 1 4 + 4 2 s - 1 2

E, precisamos usar os resultados dos itens anteriores dessa questão pra calcular quanto vale f ( t ) tal que:

L - 1 F s = f ( t )

Tranquilo?

Vamos então dar uma relembrada dos itens anteriores pra conseguirmos calcular as inversas dessas funções.

No item a ) , temos:

L f c t = 1 c F s c ,       s > c a .

No item b ) , temos:

L - 1 F k s = 1 k f t k

E, no item c ) , temos:

L - 1 F a s + b = 1 a e - b t a f t a

Perfeito! Agora que já revisamos os resultados que vamos aplicar, bora matar a questão 😊

Passo 2

Começando pela função:

F s = 2 s + 1 4 s 2 + 4 s + 5

A ideia geral é tentarmos utilizar o resultado do item c ) pra melhorar essa expressão, já que os outros dois resultados (de apenas colocar uma constante pra fora), não vai melhorar muito a situação.

Se analisarmos esse denominador direitinho, temos que:

4 s 2 + 4 s + 5 = 2 s + 1 2 + 4

Daí:

F s = 2 s + 1 2 s + 1 2 + 4

Olha que legal, se olharmos direitinho aparece 2 s + 1 no numerador e no denominador, então podemos escrever:

F 2 s + 1 = 2 s + 1 2 s + 1 2 + 4

Daí, pelo resultado do item c ) :

L - 1 F a s + b = 1 a e - b t a f t a

Podemos escrever que:

L - 1 F 2 s + 1 = 1 2 e - t 2 f t 2

Massa! Então, só precisamos descobrir agora quem que é f t 2 .

Vamos voltar para a inversa de f pra tentar calcular esse termo. Assim, pelo resultado do item a ) :

L f c t = 1 c F s c

Logo:

L f t 2 = 1 1 2 ⋅ F 2 s

= 2 ⋅ F ( 2 s )

Então, no lugar de 2 s + 1 na nossa função, vamos colocar 2 s apenas:

F 2 s =   2 s 4 s 2 + 4

(substituímos 2 s + 1 por 2 s ).

Daí, podemos colocar 4 em evidência no denominador:

2 s 4 s 2 + 4 = 1 4 ⋅ 2 s s 2 + 1

F ( 2 s ) = 1 2 ⋅ s s 2 + 1

Mas, se olharmos a nossa tabelinha, temos:

L cos ⁡ ω t = s s 2 + ω 2

Logo:

L - 1 F 2 s = 1 2 ⋅ cos ⁡ t

Então:

f t 2 = 2 ⋅ 1 2 ⋅ cos ⁡ t

Juntando tudo, vamos ter:

f t = 1 2 ⋅ e - t 2 ⋅ cos ⁡ t

Prontinho! Matamos a primeira 😊

Passo 3

Agora temos a função:

L f t = F s =   3 2 s - 1 2 + 4 2 s - 1 4 + 4 2 s - 1 2

Olha que legal, o s toda vez que aparece vem no termo ( 2 s - 1 ) . Então, podemos fizer que:

F 2 s - 1 = 3 2 s - 1 2 + 4 2 s - 1 4 + 4 2 s - 1 2  

Daí, pelo resultado do item c ) :

L - 1 F a s + b = 1 a e - b t a f t a

Temos:

L - 1 F 2 s - 1 = 1 2 ⋅ e t 2 ⋅ f t 2

Beleza! Precisamos descobrir quanto vale f t 2 . Vamos voltar para a inversa usando o resultado do item a ) :

L f c t = 1 c F s c

Daí:

L f t 2 = 2 ⋅ F ( 2 s )

Substituindo 2 s - 1 por 2 s , vamos ter:

F 2 s = 3 ⋅ 4 s 2 + 4 ( 2 s ) 4 + 4 ⋅ 4 s 2  

Podemos colocar 16 em evidência no denominador e 4 no numerador. Ficamos com:

F 2 s = 1 4 ⋅ 3 ⋅ s 2 + 1 s 4 + s 2

Manipulando mais a expressão temos:

F 2 s = 1 4 ⋅ 2 s 2 + s 2 + 1 s 2 s 2 + 1

= 1 4 ⋅ 2 s 2 s 2 s 2 + 1 + s 2 + 1 s 2 s 2 + 1

= 1 2 ⋅ 1 s 2 + 1 + 1 4 ⋅ 1 s 2

Daí, aplicando a transformada inversa nessa função, e lembrando que:

L s e n   ω t = ω 2 s 2 + ω 2 L t = 1 s 2

Temos:

L - 1 F 2 s = 1 2 ⋅ s e n t + 1 4 ⋅ t

Logo:

f t 2 = 2 ⋅ 1 2 ⋅ s e n t + 1 4 ⋅ t

= s e n t + t 2

Portanto:

f t = 1 2 ⋅ e t 2 ⋅ s e n t + t 2  

Prontinho pessoal!! Conseguimos encontrar a função inversa 😊

Obrigado pela atenção pessoal!!

Resposta

f t = 1 2 ⋅ e - t 2 ⋅ cos ⁡ t f t = 1 2 ⋅ e t 2 ⋅ s e n t + t 2

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