Exercícios Resolvidos de Transformadas Inversas

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Enunciado

Questão 2: Calcule L f t s e L - 1 F s t , conforme seja o caso:

c)

F s = 2 s - 3 s 2 + 25 ,   s > 0

Passo 1

Para encontrarmos a Laplace Inversa, antes vamos brincar com essa fração até chegarmos a algo que conhecemos, ok? Primeiro coloquemos esse 25 como 5 2 ...

F s = 2 s - 3 s 2 + 5 2     →

Agora separemos em duas frações...

F s = 2 s s 2 + 5 2 - 3 s 2 + 5 2     →  

Esse primeiro 2 e o 3 pode vir pro lado, e quanto a segunda fração, precisamos de ter um 5 lá no nominador, então coloquemos o 5 , mas para equilibrar, multipliquemos por 1 / 5 , assim a gente não altera a igualdade, saca?

F s = 2 s s 2 + 5 2 - 3 5 ⋅ 5 s 2 + 5 2     →

Aplicando Laplace inverso então...

L - 1 F s =   L - 1 2 s s 2 + 5 2 - 3 5 ⋅ 5 s 2 + 5 2   →

L - 1 F s = 2   L - 1 s s 2 + 5 2 - 3 5   L - 1 5 s 2 + 5 2   →

Ora, e quem são esses Laplaces inversos?

Passo 2

Lembrando-se da tabelinha de Laplace que...

L - 1 s s 2 + a 2 = cos ⁡ a t

L - 1 a s 2 + a 2 = sin ⁡ a t

Assim:

L - 1 s s 2 + 5 2 = cos ⁡ 5 t

L - 1 5 s 2 + 5 2 = sin ⁡ 5 t

Passo 3

Voltando aqui para a igualdade...

L - 1 F s = 2   L - 1 s s 2 + 5 2 - 3 5   L - 1 5 s 2 + 5 2   →

f t = 2   cos ⁡ 5 t - 3 5   sin ⁡ 5 t

Resposta

f t = 2   cos ⁡ 5 t - 3 5   sin ⁡ 5 t

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