No esquema mostrado na figura 2.15 , o carrinho de massa m 2 pode deslizar sem atrito, enquanto os coeficientes de atrito entre m 1 e a superfície horizontal valem μ e = 0,6 e μ c = 0,4 e θ = 30 ° .

( a ) Qual deve ser o menor valor de m 2 para que se inicie o movimento?

Passo 1

Eaew, tudo certinho com você?

O enunciado descreve a situação representada por

em que temos duas massas m 1 e m 2 inicialmente arbitrárias. Temos que a rampa está livre de atrito, mas a parte horizontal tem os seguintes coeficientes de atrito estático μ e = 0,6 e cinético μ c = 0,4 . O ângulo de inclinação é θ = 30 ° , tendo todas estas informações em mente queremos encontrar

( a ) Qual deve ser o menor valor de m 2 para que se inicie o movimento?

Temos que analisar a situação em que todas as forças acima fogem do equilíbrio, como queremos a massa mínima m 2 , vamos procurar a condição de equilíbrio!

F → R = 0 →

Vem comigo!

Passo 2

As forças atuando sobre o corpo de massa m 1 como

F → R 1 = P → 1 + N → 1 + F → a t 1 + T →

que nos dá as equações

- m 1 g   j ^ + | N → 1 |   j ^ = 0 e - μ e | N → 1 | i ^ + | T → |   i ^ = 0         ( 1 )

em que usei

F → a t = μ N →

Analogamente, para o segundo corpo, temos que

- m 2 g   c o s ( θ ) j ' ^ + | N → 2 |   j ^ ' = 0 e m 2 g   s e n ( θ )   i ' ^ - | T → | i ' ^ - μ e | N → 2 | i ^ ' = 0           ( 2 )

note que estou diferenciando os referenciais O e O ' , em que o segundo é um referencial inclinado devido ao plano! No entanto, para obter os módulos desejados, isso não será importante! Note que a inclinação já é considerada quando escrevemos os componentes das forças! Eu igualei todas as expressões a 0 pois procuramos uma situação de equilíbrio! Vamos calcular a nossa massa!

Passo 3

Da segunda equação em ( 1 ) temos que

| T → | = μ e | N → 1 |

da primeira equação em ( 1 ) , temos que

| N → 1 | = m 1 g

ou seja, temos que

| T → | = μ e m 1 g

Vamos aplicar este resultado nas equações em ( 2 ) !

Passo 4

Da segunda equação em ( 2 ) temos que

| T → | = - μ e | N → 2 | + m 2 g   s e n ( θ )

como temos que

| N → 2 | = m 2 g   c o s ( θ )

ou seja, temos que

| T → | = - μ e m 2 g   c o s ( θ ) + m 2 g   s e n ( θ ) = m 2 g [ - μ e c o s ( θ ) + s e n ( θ ) ]

Usando o valor de | T → | calculado no passo anterior, temos que

μ e m 1 g = m 2 g [ - μ e c o s ( θ ) + s e n ( θ ) ]

ou seja, a massa de equilíbrio é tal que

m 2 = μ e m 1 - μ e c o s ( θ ) + s e n θ

usando os valores no enunciado, temos que

m 2 = 0,6   m 1 - 0,4   c o s ( 30 ° ) + s e n ( 30 ° ) ≈ 3,9 m 1

Ou seja, precisamos que a massa m 2 seja 3,9 vezes maior que a massa m 1 ! A primeira alternativa foi isso! Vamos para a próxima!

Resposta

m 2 = 3,9 m 1

Exercícios Resolvidos de Atrito Estático + Atrito Cinético

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