Exercícios Resolvidos de Dependência Linear

Ver Teoria

Enunciado

Considere v 1 , v 2 e v 3 três vetores L I e sejam w 1 = v 1 + v 2 , w 2 = v 1 - v 3 e w 3 = 2 v 2 + v 3 . Se escrevemos o vetor v 1 + v 2 + v 3 como combinação linear de w 1 , w 2 e w 3 , qual o coeficiente de w 2 ?

a - 2

b 3

c 1

d - 1

Passo 1

Puts, que enunciado grande né? Bom, vou resumir, ele quer que você ache o coeficiente α 2 disso aqui:

α 1 w 1 + α 2 w 2 + α 3 w 3 = v 1 + v 2 + v 3

Ou seja, precisamos escrever v 1 + v 2 + v 3 como combinação linear de w 1 , w 2 e w 3 . Vamos substituir as equações dos w que ele dá pra gente então!

α 1 v 1 + v 2 + α 2 v 1 - v 3 + α 3 2 v 2 + v 3 = v 1 + v 2 + v 3

α 1 v 1 ⏟ + α 1 v 2 ⏞ + α 2 v 1 ⏟ - α 2 v 3 _ + 2 α 3 v 2 ⏞ + α 3 v 3 _ = v 1 + v 2 + v 3

v 1 α 1 + α 2 + v 2 α 1 + 2 α 3 + v 3 - α 2 + α 3 = v 1 + v 2 + v 3

Então chegamos no sistema:

α 1 + α 2 = 1 α 1 + 2 α 3 = 1 - α 2 + α 3 = 1       I I I I I I

Vamos fazer I - I I :

α 1 + α 2 - α 1 - 2 α 3 = 0

α 2 - 2 α 3 = 0

α 3 = α 2 2

Agora substituímos na I I I :

- α 2 + α 2 2 = 1

- α 2 2 = 1

α 2 = - 2

Resposta

Letra ( a )

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a norma do vetor dado.vec v = ((1)/(2) , (1)/(3))
Sejam vec u , vec v dois vetores quaisquer do R^n . Verifique que‖vec u - vec v‖ = |‖vec u‖ - ‖vec v‖|
Seja u → um vetor qualquer do R n . Prove que se u → ⋅ v → = 0 , para todo v ∈ R n , então u → = 0 → .
Generalize para o R n( n ≥ 3 ) os conceitos e resultados desta seção.
Mostrar que são L D os vetores v 1 , v 2 e v 3 , com v 1 e v 2 vetores arbitrários de um espaço vetorial V , e v 3 = 2 v 1 - v 2 .