Exercícios Resolvidos de Dependência Linear

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Enunciado

Diga se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas.

I   Sejam S = u 1 , … , u l e T = v 1 , … , v k subconjuntos de um espaço vetorial V t.q. S ⊆ T e S é linearmente dependente. Então T é linearmente dependente.

I I Se o vetor w for combinação linear dos vetores v 1 , v 2 , … , v k então v 1 é combinação linear de w , v 2 , … , v k .

( a ) I I é verdadeira e I é falsa.

( b ) Ambas são falsas.

( c ) Ambas são verdadeiras.

( d ) I é verdadeira e I I é falsa.

Passo 1

Vamos analisar a I

Po, não tem nem muito o que falar aqui. Se um conjunto contém ou é igual à um conjunto L D , então o que vocês acham que ele é? L D é claro! Essa é verdadeira.

Passo 2

Agora a I I

Repara no seguinte, para w poder substituir v 1 , w tem que ser formado por v 1 . Por exemplo, imagina que w fosse a soma de v 1 até v k . Era só pegar w e subtrair de v 2 até v k que você ia ter v 1 . Ou seja, se w for qualquer combinação que envolva v 1 , a afirmativa é verdadeira.

Maaaas, repara que ele não impôs nenhuma condição para os coeficientes da combinação linear que forma w . Ou seja, podemos ter:

w = 0 v 1 + α 2 v 2 + … α k v k

Nesse caso w não tem informação nenhuma a respeito de v 1 ! Então para o caso do coeficiente de v 1 ser igual a zero, a afirmativa falsa.

Resposta

Letra ( d )

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Calcule a norma do vetor dado.vec v = ((1)/(2) , (1)/(3))
Sejam vec u , vec v dois vetores quaisquer do R^n . Verifique que‖vec u - vec v‖ = |‖vec u‖ - ‖vec v‖|
Seja u → um vetor qualquer do R n . Prove que se u → ⋅ v → = 0 , para todo v ∈ R n , então u → = 0 → .
Generalize para o R n( n ≥ 3 ) os conceitos e resultados desta seção.
Mostrar que são L D os vetores v 1 , v 2 e v 3 , com v 1 e v 2 vetores arbitrários de um espaço vetorial V , e v 3 = 2 v 1 - v 2 .