PUCRIO, Álgebra Linear I, G1-2016.2, Questão 2ab
Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmativa for falsa, exiba um contraexemplo.
- Se o conjunto de vetores é linearmente dependente, então o subconjunto { é linearmente dependente.
- Se então o conjunto é linearmente dependente
Passo 1
- Se o conjunto de vetores é linearmente dependente, então o subconjunto { é linearmente dependente.
Essa afirmativa nem sempre é verdadeira, pode ser que o que torne o conjunto seja o vetor , por exemplo:
Nesse caso é mas não.
Assim a afirmativa é falsa!
Passo 2
b) Se então o conjunto é linearmente dependente
Vamos usar a definição de independência linear pra conferir isso aí: tentando escrever o vetor nulo como combinação dos vetores do conjunto. Se eu tiver uma solução não trivial, o conjunto é
Tenho apenas que , então eu consegui achar uma solução não trivial e o conjunto, de fato é
Resposta
- Falsa
- Verdadeira
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Calcule a norma do vetor dado.vec v = ((1)/(2) , (1)/(3))
Sejam vec u , vec v dois vetores quaisquer do R^n . Verifique que‖vec u - vec v‖ = |‖vec u‖ - ‖vec v‖|
Seja u → um vetor qualquer do R n . Prove que se u → ⋅ v → = 0 , para todo v ∈ R n , então u → = 0 → .
Generalize para o R n( n ≥ 3 ) os conceitos e resultados desta seção.
Mostrar que são L D os vetores v 1 , v 2 e v 3 , com v 1 e v 2 vetores arbitrários de um espaço vetorial V , e v 3 = 2 v 1 - v 2 .