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Exercícios Resolvidos de Dependência Linear

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Enunciado

USP, 2019.1, P1, Q4

Sejam u → , v → , w →   ∈ V 3 vetores não nulos com { u → , v → } linearmente independentes. Está correto afirmar que

A   S e   w → é ortogonal a u →   e   a   v → , então { u → , v → , w → } é uma base ortogonal de V 3

B   O   c o n j u n t o { u → , v → , w → } é linearmente independente.

C   O s   v e t o r e s   u → + v →   e   u → - v →   s ã o   o r t o g o n a i s .

D   S e     u → , v → , w →   é   u m a   b a s e   o r t o g o n a l   d e   V 3 ,   e n t ã o   p r o j w → u → + v → = 0 →    

E S e   {   u → , v → , w → }   é um conjunto linearmente independente, então o conjunto { u → + v → - w → , u → - v → ,   2 v → - w → } também é linearmente independente.

Passo 1

Falaaa, tranquilo?? Vamos começar essa questão olhando para o item A.

A   S e   w → é ortogonal a u →   e   a   v → , então { u → , v → , w → } é uma base ortogonal de V 3

Bom, essa afirmação é falsa, pois pelo enunciado os vetores u → , v → são L.I, nada impõe que eles sejam ortogonais.

Bora agora para próxima letra.

B   O   c o n j u n t o { u → , v → , w → } é linearmente independente.

Essa afirmação também não é verdadeira, pois como foi dito antes, a questão nos diz que u → , v → são L.I, mas nada diz que w →   deve ser L.I.

Passo 2

Agora vendo a terceira afirmação:

C   O s   v e t o r e s   u → + v →   e   u → - v →   s ã o   o r t o g o n a i s .

Para que esses vetores sejam ortogonais temos que   u → + v → , u → - v →   = 0

Mas temos que u → + v → , u → - v →   =   u → , u → - v →   + v → , u → - v →   = u → , u →   - u → , v →   + v → , u →   - v → , v →   =   u → , u →   - v → , v →     Agora é fácil ver que para os vetores serem ortogonais, teríamos que:

u → , u →   - v → , v →   = 0   ∴   u → , u →   = v → , v →   e obviamente isso não é verdade para quaisquer vetores u → , v → L.I

Olharemos a afirmação (D):

D   S e     u → , v → , w →   é   u m a   b a s e   o r t o g o n a l   d e   V 3 ,   e n t ã o   p r o j w → u → + v → = 0 →      

Aqui vamos lembrar a fórmula de projeção de vetores:

p r o j x → y → = y → , x → x → 2 x →

Vamos aplicar isso na fórmula:

p r o j w → u → + v → = u → + v → ,   w → w → 2 w → = w → w → 2 u → ,   w → + v → ,   w →

Como   u → , v → , w →   é   u m a   b a s e   o r t o g o n a l , eles são ortogonais dois a dois, ou seja

u → ,   w → = v → ,   w → = 0 , portanto, p r o j w → u → + v → = w → w → 2 u → ,   w → + v → ,   w → = 0

Passo 3

Já sabemos na resposta, agora basta checar a última:

E S e   {   u → , v → , w → }   é um conjunto linearmente independente, então o conjunto { u → + v → - w → , u → - v → ,   2 v → - w → } também é linearmente independente

S e   {   u → , v → , w → }   é um conjunto linearmente independente temos a u → + b v → + c w → = 0   ∴ a = b = c = 0

Vamos checar agora se u → + v → - w → , u → - v → ,   2 v → - w →   é   L . I , para esse conjunto ser L.I temos que

α u → + v → - w → + β u → - v → + γ 2 v → - w → = 0   e   q u e r e m o s   a c h a r   α = β = γ = 0  

α u → + v → - w → + β u → - v → + γ 2 v → - w → =   u → α + β +   v → α - β + 2 γ + w → - α - γ = 0

Como   u → , v → , w →   é   L . I :

α + β = 0                     α - β + 2 γ = 0 - α - γ = 0            

α = - β α = - γ

Veja que podemos tomar α = 1 ;   β = - 1   e   γ = - 1 e a equação continuaria certa, mas os escalares não são nulos.

Resposta

Letra D

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Calcule a norma do vetor dado.vec v = ((1)/(2) , (1)/(3))
Sejam vec u , vec v dois vetores quaisquer do R^n . Verifique que‖vec u - vec v‖ = |‖vec u‖ - ‖vec v‖|
Seja u → um vetor qualquer do R n . Prove que se u → ⋅ v → = 0 , para todo v ∈ R n , então u → = 0 → .
Generalize para o R n( n ≥ 3 ) os conceitos e resultados desta seção.
Mostrar que são L D os vetores v 1 , v 2 e v 3 , com v 1 e v 2 vetores arbitrários de um espaço vetorial V , e v 3 = 2 v 1 - v 2 .