Exercícios Resolvidos de Dependência Linear

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Enunciado

Sejam u → e v → dois vetores quaisquer. Considere as seguintes afirmações abaixo e assinale a resposta CORRETA:

  1. Se u → , v → é um conjunto Linearmente Dependente, então ambos os conjuntos u → e v → são Linearmente Dependentes.
  2. Se u → , v → é um conjunto Linearmente Independente, então ambos os conjuntos u → e v → são Linearmente Independentes.

( a ) I é verdadeira e I I é falsa.

( b ) Ambas são verdadeiras.

( c ) Ambas são falsas.

( d ) I I é verdadeira e I é falsa.

Passo 1

Afirmativa I :

Vamos lá, vou te mostrar que essa ta super errada com um exemplo:

u → , v → = 1,0 , 2,0

u → = 1,0

v → = 2,0

Bom, u → , v → claramente é L D , mas u → e v → são ambos L I . Lembrando que para um conjunto com um só vetor ser L D , esse vetor deve ser o vetor nulo. Essa é falsa então.

Passo 2

Afirmativa I I :

Essa é super verdadeira. Como já falei no Passo 1, o único jeito de um conjunto com um único vetor ser L D é se esse vetor for o nulo. Então se u → ou v → forem L D , o conjunto u → , v → também teria que ser L D (já que ele teria o vetor nulo nele) o que não é verdade. Então essa é verdadeira.

Resposta

Letra ( d )

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Calcule a norma do vetor dado.vec v = ((1)/(2) , (1)/(3))
Sejam vec u , vec v dois vetores quaisquer do R^n . Verifique que‖vec u - vec v‖ = |‖vec u‖ - ‖vec v‖|
Seja u → um vetor qualquer do R n . Prove que se u → ⋅ v → = 0 , para todo v ∈ R n , então u → = 0 → .
Generalize para o R n( n ≥ 3 ) os conceitos e resultados desta seção.
Mostrar que são L D os vetores v 1 , v 2 e v 3 , com v 1 e v 2 vetores arbitrários de um espaço vetorial V , e v 3 = 2 v 1 - v 2 .