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Exercícios Resolvidos de Dependência Linear

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Enunciado

Proponha um vetor do R 4 que seja L I com os vetores u → = 1 ,   1 ,   3 , 4 ,   v → = ( 1 ,   3 ,   1 , 3 ) .

Passo 1

Se a gente montar a equação, ficaria assim:

  ( 0,0 , 0 , 0 ) = a u → + b v → + c h →

0 ,   0 ,   0 , 0 = a 1 ,   1 ,   3 , 4 + b 1 , 3 ,   1 , 3 + c x ,   y ,   z ,   w

Abrindo em um sistema,

0 = 1 a + 1 b + x c     I 0 = 1 a + 3 b + y c     I I 0 = 3 a + 1 b + z c       I I I 0 = 4 a + 3 b + w c     I V

Bom, de cara percebemos que teremos infinitas soluções, já que possuímos 7 incógnitas para 4 equações. Mas, o problema só pediu um vetor L I , então vamos sugerir um!

Passo 2

O jeito mais fácil de resolver esse exercício é chutar valores para três coordenadas de h → e tentar achar o valor da coordenada faltante.

Então, chutando x = y = z = 1 , teremos:

0 = 1 a + 1 b + 1 c     I 0 = 1 a + 3 b + 1 c     I I 0 = 3 a + 1 b + 1 c       I I I 0 = 4 a + 3 b + w c     I V

Agora sim temos 4 incógnitas para 4 equações!

De ( I ) tiramos que a = - b - c   ( i )

Substituindo em ( I I ) :

0 = - b - c + 3 b + c

0 = 2 b

b = 0   ( i i )

Opa, achamos um b = 0 ! O que é bom, já que o problema pede um vetor L I !

Substituindo ( i i ) em ( i ) ,

a = - c   ( i i i )

Vamos substituir i i i ,   ( i i ) em ( I I I )

0 = 3 - c + 0 + c

2 c = 0

c = 0

Então, a = b = c = 0 !

Com isso, a coordenada w pode ser qualquer número!

Um vetor L I com os vetores   u → e   v → pode ser

h → = ( 1 ,   1 ,   1 ,   2 ) ou   h → = ( 1 ,   1 ,   1,3 )

Existem infinitas soluções!

Resposta

h → = ( 1 ,   1 ,   1 ,   2 ) ou   h → = ( 1 ,   1 ,   1,3 )

Existem infinitas soluções!

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a norma do vetor dado.vec v = ((1)/(2) , (1)/(3))
Sejam vec u , vec v dois vetores quaisquer do R^n . Verifique que‖vec u - vec v‖ = |‖vec u‖ - ‖vec v‖|
Seja u → um vetor qualquer do R n . Prove que se u → ⋅ v → = 0 , para todo v ∈ R n , então u → = 0 → .
Generalize para o R n( n ≥ 3 ) os conceitos e resultados desta seção.
Mostrar que são L D os vetores v 1 , v 2 e v 3 , com v 1 e v 2 vetores arbitrários de um espaço vetorial V , e v 3 = 2 v 1 - v 2 .