Julgue verdadeiro ou falso. Justifique.
a) Seja um sistema linear homogêneo com equações e variáveis. Se , então existem duas soluções linearmente independentes.
b) Em , é possível encontrar dois subespaços vetoriais e com e tais que a soma seja direta.
Passo 1
Vamos analisar cada afirmativa separadamente:
a) Antes de tudo, temos que saber que o número de variáveis livres desse sistema linear é , sendo o posto da matriz dos coeficientes .
O conjunto solução desse sistema linear vai ser um subespaço vetorial de em que a dimensão vai ser o número de variáveis livres desse sistema, ou seja, .
Como o posto só pode ser no máximo o número de linhas de , então a dimensão do conjunto solução deve ser pelo menos .
Logo, existem dois vetores L.I. dentro desse conjunto solução :) A afirmativa é verdadeira.
Passo 2
b) Se a soma for direta, então não deve haver intersecção de com , certo?
Nesse caso:
Se tivermos , teríamos que , sendo que pertence a e logo é um absurdo que tenha dimensão 6 pois . Então a afirmativa é falsa.
Resposta
a) Verdadeiro.
b) Falso.