Qual dos sistemas abaixo possui um conjunto-solução de dimensão 2?
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
Antes de começar a fazer essa questão, vamos lembrar algumas coisinhas sobre equações cartesianas:
- O número de variáveis livres (VL) é igual à dimensão do espaço formado
- O número de variáveis dependentes (VD) é igual ao número de equações cartesianas não redundantes.
Também precisamos lembrar do seguinte:
A questão quer saber qual dos sistemas tem uma solução de dimensão 2. Logo, o número de variáveis livres da nossa resposta tem que ser igual a 2. Vamos analisar caso a caso.
Passo 2
(a)
O vetor solução desse sistema é um vetor da forma , então é um vetor do .
Para vermos se as equações são redundantes ou não, podemos coloca-las numa matriz aumentada e escalonar.
Como o lado direito é todo igual a 0, vamos omitir essa parte e escalonar apenas a matriz dos coeficientes mesmo :D
Fazendo isso:
Passo (i): e
Como zeramos uma linha, só temos 2 equações não redundantes. O número de VD é 2.
Vamos chamar de n o número de variáveis livres (VL). Usando o teorema:
Logo, a dimensão do espaço formado (que é a solução do sistema) é 2. Essa é a nossa resposta!
Nos passos seguintes vamos analisar as outras alternativas e ver que elas estão erradas.
Passo 3
(b)
O vetor solução desse sistema é um vetor da forma , logo é um vetor do .
Nessa alternativa fica claro que a segunda equação é o dobro da primeira, enquanto a terceira é o triplo da primeira. Então só temos 1 equação não redundante.
Vamos chamar de n o número de VL.
Usando o teorema:
Então a dimensão do conjunto solução nesse caso é 3.
Passo 4
(c)
O vetor solução desse sistema é um vetor da forma , logo é um vetor do .
Como só temos duas equações e uma não é múltipla da outra, temos 2 equações não redundantes e 2 VD.
De novo n vai ser o número de VL.
Pelo teorema:
A dimensão do conjunto solução é 1.
Passo 5
(d)
O vetor solução desse sistema é um vetor da forma , logo é um vetor do .
Temos uma só equação, então o número de VD é 1.
Pra variar, vamos chamar de n o número de VL.
Pelo teorema:
A dimensão do conjunto solução é 3.
Deu tudo certo e só temos mesmo uma opção com conjunto solução de dimensão 2, que está na letra (a).
Resposta
(a)