Seja A uma matriz Aplicando-se operações elementares às linhas de A, obtém-se a matriz E abaixo:
Pode-se afirmar que:
(a) é base do espaço gerado pelas linhas de A.
(b) gera a imagem de A.
(c)
(d)
Passo 1
(a) Se fizemos o processo de escalonamento nas linhas de A e as duas últimas linhas zeraram, isso significa que elas eram combinações lineares das duas primeiras linhas, então não contribuem para o espaço gerado pelas linhas de A.
Se consideramos as linhas que ficaram, teremos então uma base para o espaço gerado pelas linhas e a letra (a) é verdadeira!
Mas vamos ver por que as demais são falsas.
Passo 2
(b) Lembra que imagem = espaço gerado pelas colunas.
Quando fazemos o escalonamento da matriz A, nós não podemos pegar os vetores das colunas da matriz E resultante e dizer que eles geram a imagem de A!!
Se quiséssemos obter uma base para a imagem de A, teríamos que colocar os vetores das colunas em linhas (ou seja, transpor a matriz) e escalonar! Aí sim os vetores não nulos que sobrarem nas linhas vão formar a base da imagem.
Por isso não podemos afirmar o que tá escrito na letra (b).
Passo 3
(c) Apesar do que eu falei no Passo 2, temos o seguinte:
Aí vocês sabem que se eu quero saber a dimensão do espaço das linhas de A eu posso escalonar a matriz A e ver a quantidade de vetores não-nulos que restaram, certo?
Mas, pra saber somente a dimensão do espaço das colunas de A (imagem de A), eu posso fazer a mesma coisa e escalonar a matriz A, sem me preocupar em transpor!!
Por isso:
Pois a matriz E tem dois vetores não nulos nas linhas.
A letra (c) é falsa porque ela diz que essa dimensão vale 3.
Passo 4
(d) Pra ver que essa afirmativa é falsa vamos usar o Teorema Núcleo-Imagem para matrizes.
Se eu tenho uma matriz A , então:
Vimos na letra (c) que:
E sabemos do enunciado que . Substituindo, vamos encontrar:
E não 3, como diz a letra (c).
Resposta
(a) é base do espaço gerado pelas linhas de A.