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Exercícios Resolvidos de Dimensão

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Exercício 28123456789101112131415161718192021222324252627

Enunciado

USP, PSUB, 2019, Q6

Sejam A =   0 1 0 1 0 0 0 0 1   e   B =   0 1 1 0 . Então, a dimensão do subespaço vetorial W = X ∈ M 3 × 2 R   :     A X = X B do espaço vetorial M 3 × 2 R é

a )   5

b )   6

c )   3

d )   4

e )   0

Passo 1

Falaaa, blz??? Bora começar essa questão lembrando como podemos determinar a dimensão de um subespaço.

A dimensão de um subespaço W é determinada pelos números de vetores L.I que geram esse espaço, ou ainda, o número de vetores da base de W.

Passo 2

Para fazer isso, vamos começar escrevendo uma matriz X de W e ver de onde ela sai.

X ∈ W   → X =   a b c d e f

Com a seguinte relação:

A X = X B ,   o u   s e j a :  

0 1 0 1 0 0 0 0 1 a b c d e f = a b c d e f   0 1 1 0

Primeiro, temos que 0 1 0 1 0 0 0 0 1 a b c d e f =   c d a b e f  

Além disso, temos que a b c d e f   0 1 1 0 =   b a d c f e

Bora voltar na equação inicial:

c d a b e f = b a d c f e

Ou seja, podemos tirar disso que:

c = b ,   d = a ,   e = f

Passo 3

Bora reescrever essa matriz X, tendo isso agora:

X =   a b c d e f =     a b b a e e

= a 1 0 0 1 0 0 + b 0 1 1 0 0 0 + e 0 0 0 0 1 1

Ou seja, como X é combinação dessas 3 matrizes acima, podemos dizer que:

W = 1 0 0 1 0 0 , 0 1 1 0 0 0 , 0 0 0 0 1 1

E como já foi dito, como W é gerado por 3 elementos, dizemos que a dimensão desse subespaço é 3

Uma boa questão para treinar a forma de descobrir uma base/dimensão de um subespaço, pois em geral fazemos essa mesma maneira em todo tipo de questão assim, agora que ela acabou, bora para mais uma questão???

Resposta

Letra C

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