Faça o que se pede
a) Encontre uma base para:
Além disso, diga qual a dimensão de .
b) O conjunto:
é linearmente independente? Calcule também .
c) Dê uma base e uma dimensão para :
Passo 1
a) Antes de tudo, vamos tentar achar os vetores que são dos outros, pois uma base possui apenas vetores (lembrar a definição!).
Olhando para o espaço gerado, podemos descartar o vetor nulo, que é uma de qualquer vetor.
Podemos verificar que o vetor pode ser escrito como
e também pode ser eliminado. Logo, nos resta apenas:
Passo 2
Podemos observar também que
e vamos descartar o vetor também.
Assim sobrou apenas:
Esses vetores ai em cima são , pois um não é uma do outro. Na dúvida, aplique a definição e verifique (ache coeficientes iguais a zero).
Encontramos
Como a base possui vetores, temos .
Passo 3
Letra b) Bom, se queremos verificar se aquele conjunto é , vamos fazer uma entre eles:
Após desenvolver, basta apenas agrupar os termos em , já que sabemos que este conjunto é . Assim, igualamos seus coeficientes a zero.
Passo 4
Substituindo as equações e na , temos:
Portanto podemos concluir que:
Então, se colocarmos teremos zero, ou seja, existe uma combinação linear dando zero sem ser a trivial. O que isso nos diz? Que os vetores são LD!
Beleza agora que sabemos que o conjunto é LD, vamos ver qual ou quais vetores podem ser escrito como CL dos demais. Dessa forma, saberemos quais podem ser descartados por serem redundantes e assim teremos nossa base!
Nossa equação principal fica assim:
Dividindo tudo por , já que como são ,:
Passo 5
E assim vemos que podemos descartar . Mas isso não torna o novo conjunto
. Precisamos verificar isso de novo. Uma dica para não ter tanto trabalho é aproveitar as equações já feitas e apenas remover o delas.
Tomando pela equação :
Somando as duas vemos que:
Portanto, sim, o novo conjunto é e a dimensão é 3.
Passo 6
Passo 7
Letra c) Primeiramente, vamos verificar se o conjunto é , mas, em vez de usarmos a definição podemos ter um pouco menos de trabalho e usar o teorema vendo se alguma matriz é uma das demais. Sempre tente fazer isso antes de aplicar a definição a não ser que peçam para você provar, é claro.
Repare que, para a quarta matriz, 2. Logo, podemos descartar esta quarta matriz.
Outra coisa que podemos ver é que a terceira matriz é a soma da primeira com a segunda. Assim podemos eliminar já as duas últimas.
Passo 8
Repare que as duas que sobraram
são , pois uma possui um zero no terceiro elemento, e a outra zero no quarto elemento, logo uma não consegue gerar a outra.
Assim uma possível base é e .
Resposta
a) , .
b) Não. .
c) Base e .