Exercícios Resolvidos de Dimensão

Ver Teoria

Enunciado

Seja H = 1,1 , 1 , 2,1 , 1 , 0,1 , 1 , - 2 , - 1 , - 1 , 5,3 , 3 . Então:

a Existem dois vetores de H que, junto com 3 , 2,2 , geram R 3

b   H gera R 3

( c ) Quaisquer dois vetores de H , junto com 0,1 , - 1 , geram R 3

( d ) Existem dois vetores de H que, junto com 0 , 1 , - 1 geram R 3

Passo 1

Ele deu pra gente H com uma porrada de vetores! Vamos botar esse negócio numa matriz e ver no que dá:

1 1 1 2 1 1 0 1 1 - 2 - 1 - 1 5 3 3

Opa, repara que temos apenas duas colunas L I ! A terceira é igual a segunda. Logo, também temos que ter apenas 2 linhas L I . Bom, isso já elimina a b que diz que H gera R 3 .

Vamos testar a a agora! Bom, o vetor 3 , 2,2 é simplesmente a soma dos dois primeiros vetores! Então ele não acrescenta nada à nossa matriz, e com certeza não vai gerar o R 3 .

Passo 2

Restam a c e a d . Ambas dizem que 0 , 1 , - 1 consegue gerar o R 3 . A diferença é que uma diz que ele consegue gerar com quaisquer dois vetores. A outra é diz que existem, mas não diz quantos! E agora?

Bom, agora você tinha que ter a sacada de procurar por dois vetores que estão na mesma reta! Pensa comigo, se 0 , 1 , - 1 consegue gerar o R 3 com outros dois vetores de H , ele tem que ser L I em relação à qualquer vetor de H .

Então para ele não poder gerar o R 3 com quaisquer dois vetores é porque esses dois vetores formavam apenas uma reta, e passam a formar um plano com ele. Complicado né? Bom, você podia testar todas as combinações se não se ligasse nisso, mas ia perder um bom tempo. . .

Enfim, os vetores 2 , 1,1 e - 2 , - 1 , - 1 estão na mesma reta. Logo, o conjunto 2 , 1,1 , - 2 , - 1 , - 1 , 0,1 , - 1 não forma o R 3 ! Isso elimina a letra c .

Se nenhum par de vetores estivesse na mesma reta, a correta seria a c .

Resposta

Letra ( d )

Exercícios de Livros Relacionados

Para a ∈ V fixado, determine a dimensão do subespaço de p n definido por: w = p ∈ p n p a = 0 .
Encontre uma base do espaço solução do sistema linear homogêneo e encontre a dimensão desse espaço. 3 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 5 x 1 - x 2 + x 3 - x 4 = 0
Encontre as dimensões dos seguintes subespaços de R 4 . a Todos os vetores da forma a , b , c , 0 b Todos os vetores da forma a , b , c , d em que d = a + b e c = a - b . c Todos os vetores da forma a
Considere o sistema linear: S = 2 x 1 + 4 x 2 - 6 x 3 = a x 1 - x 2 + 4 x 3 = b 6 x 2 - 14 x 3 = c Seja W = { x 1 , x 2 , x 3 ∈ R 3 : x 1 , x 2 , x 3és o l u ç ã od e( S ) } é çã . Isto é, W é o conju
Mostre que os polinômios 1 - t 3 ,1 - t 2 ,1 - t e 1 geram o espaço dos polinômios de grau ≤ 3 .