USP, PSUB, 2018, Q12
Seja V o subespaço vetorial de gerado pela família , onde , , , , . A dimensão de V é igual a:
Passo 1
Falaaa, blz??? Bora para mais uma questãozinha. Esse problema envolve um subespaço gerado por uma família de vetores, isso te lembra alguma coisa??
Quando dizemos que um espaço é gerado por uma família de vetores, tamo dizendo que essa família serve, basicamente, como uma base. Porém, para ser considerada de fato uma base precisamos de um requisito chave, que é:
Seja , tal que:
Dizemos que é base de
Agora, olhe para a família de vetores da questão:
E pelo enunciado, temos que
Vale ressaltar que V tem no máximo dimensão 4, uma vez que é subespaço de . Ou seja, já sabemos que pelo menos um desses vetores de B deve estar fora da base de V. Caso contrário, teríamos 5 vetores em B, gerando um espaço de dimensão 4, ou seja, B não seria uma base (não cumpriria os requisitos falados).
Passo 2
Então agora vamos entender o que devemos fazer:
Sabemos que é candidato a base de V (pois gera V), porém, precisamos arrumar B para que se encaixe numa base, assim, sabendo a quantidade de vetores L.I de B (que formam a base) sabemos a dimensão de V, uma vez que o conjunto de vetores L.I de B formam uma base de V.
Bora lá, descobrir quem são os vetores L.I de B:
Primeiro, vamos visualizar que:
Logo, como é combinação de , ele não é L.I, então já não serve para o que queremos (achar a base), ou seja, agora vamos olhar para o nosso novo conjunto:
Nossa ideia antes era ir excluindo vetores de B até sobrar apenas os L.I. Agora vamos fazer o mesmo para
Passo 3
Bora olhar para:
Agora, vamos usar o seguinte conceito:
Dizemos que são L.I se a única solução para a equação
É
Bora ver qual a solução para a equação:
Ou seja
Agora, veja que a primeira e terceira equação são equivalentes, ou seja, podemos resumir nosso sistema a:
Usando que na segunda e terceira:
Dividindo a primeira por 3 e ajustando a segunda:
Subtraindo as duas, achamos que
Voltando em
Logo, temos que:
Daqui, tiramos que
Mas veja que
Ou seja
Logo, vamos excluir , uma vez que ele não é L.I com
Passo 4
E bora continuar na luta, agora temos, pelo mesmo raciocínio já feito:
Agora, vamos ver se finalmente esses 3 vetores são L.I, pelo mesmo processo:
Ou seja:
Mas a primeira e terceira são análogas, vamos resumir esse sistema, além de dividir por 3 a segunda equação, para facilitar
Subtraindo a terceira da segunda:
Mas com , na segunda temos que e, portanto,
Ou seja, a solução para , logo
Resposta
Letra B