USP, PSUB, 2019, Q3
Seja S o subespaço vetorial de gerado por
Então, a dimensão de S é igual a
Passo 1
Falaaa, blz?? Bora para essa questão envolvendo dimensão de subespaço.
Primeiro, vamos lembrar um conceito
Quando dizemos que um espaço é gerado por uma família de vetores, tamo dizendo que essa família serve, basicamente, como uma base. Porém, para ser considerada de fato uma base precisamos de um requisito chave, que é:
Dizemos que é base
Além disso, a dimensão do espaço gerado por B é igual a quantidade de vetores L.I de B, bora aplicar essa ideia na questão???
Passo 2
Como foi dito, fica mais evidente que nosso objetivo é encontrar a quantidade de vetores L.I dessa família da questão.
Vamos escrever:
Vamos tomar
Agora, vamos perceber que , ou seja, não é L.I com os outros, vamos retirar ele, ficando com
Além disso, perceba que , logo podemos retirar o , ficando com nossa candidata a base
Acredito que nesse momento não conseguimos achar mais vetores que são combinação dos outros, de forma trivial, bora analisar de forma mais profunda se esses que sobraram são de fato L.I
Passo 3
Agora, bora relembrar como podemos dizer que os vetores são L.I
Dizemos que são L.I se a única solução para a equação
É
Bora ver se nossos vetores respeitam isso?
Aqui temos que pensar, se jogarmos até conseguimos zerar o termo com , mas e os outros?? Como eu conseguiria zerar, por exemplo
Sem ser
Veja que não conseguimos achar, de fato, uma solução para essa equação diferente de , pois não conseguimos relacionar os termos para isso
Ou seja, temos que o subespaço S é gerado por , logo, dizemos que a dimensão de S é 4.
Bora para a próxima questão??
Resposta
Letra D