USP, Álgebra Linear 2, 2020.1, P1, Q1
Considere os subespaços
Do espaço vetorial , de todas as funções contínuas de em , e
Do espaço vetorial , de todos os polinômios com coeficientes reais. É correto afirmar que e são, respectivamente, iguais a:
Escolha uma opção:
Passo 1
Faaaala, galerinha marota. Nesse tipo de questão, começamos procurando relações lineares triviais entre os elementos. Depois, fazemos a combinação linear nula dos elementos e vemos se conseguimos forçar todos os coeficientes a serem nulos. Se não pudermos temos que tirar algum dos elementos relacionados e assim, diminuímos o conjunto gerador até atingirmos a base L.I.
O conjunto
Tem algumas relações interessantes como:
Assim, estes elementos são linearmente dependentes de , assim os retiramos:
Agora, tome a combinação linear nula:
Podemos resolver derivando e jogando valores ou só jogando valores. Tome:
Como a única solução é a trivial, temos que é gerador e L.I., logo é base tal que:
Passo 2
Quanto a , vamos começar da combinação linear nula dos elementos, uma vez que são difíceis de relacionar:
Pela identidade polinomial,
Na notação matricial, os coeficientes são representados por:
Repare que isto nos dá uma dica das relações na combinação. Aplicando, temos que para todo :
Assim, para :
Logo, podemos retirar do conjunto gerador. Para verificar que os outros são L.I., basta observar que se tomássemos , teríamos uma C.L. nula com os elementos correntes do conjunto gerador e segundo a solução acima, teríamos , e . Assim,
Resposta
c.