Considere W o subespaço do R 4 gerado por v 1 = 1 , - 2,0 , 0 , v 2 = 0,0 , 1,1 , v 3 = - 2 , 2 , 1 , 1 e v 4 = 1 , 0 , 0,0 . Isto é, W=[ v 1 ,   v 2 ,   v 3 ,   v 4 ] .

i. O vetor (2,-3,2,2) pertence a W?

ii. Determine uma base para W e sua dimensão.

iii. W= R 4 ? Justifique.

Passo 1

i. Para que o vetor (2,-3,2,2) pertença a W, ele deve ser escrito como combinação linear dos vetores que geram esse subespaço.

Ou seja, devem existir a, b, c e d tais que:

2 , - 3,2 , 2 = a 1 , - 2,0 , 0 + b 0,0 , 1,1 + c - 2,2 , 1,1 + d 1,0 , 0,0

Vamos tentar achar esses valores. Resolvendo:

2 , - 3,2 , 2 = a - 2 c + d , - 2 a + 2 c , b + c , b + c

a - 2 c + d = 2 - 2 a + 2 c = - 3 b + c = 2

Somando as duas primeiras equações:

- a + d = - 1   ∴ a = d + 1

Substituindo esse valor de a na segunda equação, vamos encontrar:

- 2 d + 1 + 2 c = - 3   ∴ c = d - 1 2

Agora substituindo c na terceira equação:

b + d - 1 2 = 2   ∴ b = 5 2 - d

Portanto, quaisquer valores de a,b, c e d que satisfazem:

a = d + 1

c = d - 1 2

b = 5 2 - d

Irão gerar o vetor (2,-3,2,2). Logo, ele pertence a W.

Passo 2

ii. Sabemos que a base de um subespaço vetorial é um conjunto linearmente independente de vetores capaz de gerar todo esse subespaço.

O enunciado deu pra gente que W era gerado por v 1 = 1 , - 2,0 , 0 , v 2 = 0,0 , 1,1 , v 3 = - 2,2 , 1,1 e v 4 = 1,0 , 0,0 .

Vamos ver se esses quatro vetores são LI.

Pra isso, vamos coloca-los nas linhas de uma matriz e escalonar, beleza?

L 3 ← L 3 + 2 L 1

L 4 ← L 4 - L 1

L 2 ↔ L 3

L 4 ← L 4 + L 2

L 4 ← L 4 - L 3

Ih, a quarta linha zerou!!

Significa que o vetor que tava lá, o v 4 , é uma combinação linear dos outros.

Então se tirarmos ele do conjunto formado pelos 4 vetores, vamos ter um conjunto LI e esse conjunto LI gera todo nosso subespaço W.

Então uma base pra W vai ser:

β = { 1 , - 2,0 , 0 , 0,0 , 1,1 , - 2 , - 2,1 , 1 }

Como temos 3 vetores nesse conjunto:

D i m W = 3

Passo 3

iii. Temos:

dim ⁡ R 4 = 4

E vimos que:

D i m W = 3

Logo,

W ≠ R 4

Ou seja, com os vetores de W, não conseguimos gerar todo o R 4 (para gerar R 4 precisaríamos de 4 vetores LI, mas só temos 3)

Resposta

i. Sim

ii. β = { 1 , - 2,0 , 0 , 0,0 , 1,1 , - 2 , - 2,1 , 1 }

D i m W = 3

iii. W ≠ R 4

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