3. Sejam , e números reais com e considere a função . Sabe-se que é o único ponto de intersecção entre o gráfico de e da reta de equação e que a intersecção da reta de equação com o gráfico é o ponto . Então o valor de é
Passo 1
Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos a seguinte função,
Ou seja,
E queremos saber quanto vale .
Para isso, vamos usar as informações sobre alguns pontos que o enunciado nos disse: e . Ou seja, com essa informação nós sabemos quanto vale para um determinado .
Agora vamos ver o que conseguimos com essa informação!
Passo 2
Vamos começar olhando para o ponto . Ele quer dizer que quando , também será igual a . Logo, podemos escrever que
Olhando para o nosso segundo ponto, , ficamos com
Opaaa, descobrimos quem é . Então, vamos substituir na primeira equação que achamos,
Colocando em evidencia, ficamos com
Logo,
Repara que temos duas icognitas e uma equação! Então precisamos encontrar mais uma relação com as informações dadas.
Passo 3
O enunciado disse que é o único ponto de intersecção entre o gráfico de e da reta de equação e temos que nossa função é uma função do segundo grau. A parábola é simétrica, então não tem como uma reta horizontal (y=2) cruzar uma parábola em um ponto só, a não ser que esse ponto seja o vértice.
Deste modo, podemos aplicar a nossa equação do do vértice, que é
Pelo ponto fornecido, temos que . Logo,
Opaaa! Encontramos a nossa segunda equação, vamos montar o sistema!
Passo 4
Ficamos assim,
Resolvendo,
Achando ,
Mas ainda não acabamos!
Passo 5
Lembra que o enunciado que queria saber quanto era ? Agora é só substituir
Prontinho!