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Exercícios Resolvidos de Funções Trigonométricas – Parte 1

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Enunciado

UFSC, Sem Campus, Pré-Cálculo, Listas Pré Cálculo - Lista 14, Questão 5

Calcule as expressões abaixo:

  1. c o s   x   =   0 .
  2. c o s   x   =   1 .
  3. c o s   x   =   − √ 2 / 2
  4. c o s   x   =   0 ,   x   ∈   [ 0 ,   π ] .
  5. c o s   x   =   1 ,   x   ∈   [ 0 ,   π ] .
  6. c o s   x   =   − √ 2 / 2 ,   x   ∈   [ 0 ,   π ] .

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de pré-cálculo . Nosso objetivo é calcular os valores de cada expressão. Para isso, vale lembrar que

a r c c o s ( x ) = c o s - 1 ( x )

Isso é

c o s ( a r c c o s ( x ) ) = x

Contudo

a r c c o s ( c o s ( x ) ) = x   s e

x ∈   [ - π / 2 ,   π / 2   ]

Bem vamos começar pela letra a )

c o s   x   =   0 .

Como queremos x , vamos aplicar a função inversa do cosseno. Fazendo isso temos:

a r c c o s ( c o s   x )   =   a r c c o s ( 0 ) .

⇒ x = a r c c o s ( 0 )

Então fazemos a pergunta: Qual o arco cujo cosseno é igual a zero? Ora é o arco de π / 2 . Mas sabemos que o arco - π / 2 também satisfaz. E agora? Ora pegamos todos os arcos. Então se

x = a r c c o s ( 0 )

Logo

x = π / 2   +   k π ;   k ∈ Z

letra b )

c o s   x   =   1 .

Como queremos x , vamos aplicar a função inversa do cosseno. Fazendo isso temos:

a r c c o s ( c o s   x )   =   a r c c o s ( 1 ) .

⇒ x = a r c c o s ( 1 )

Então fazemos a pergunta: Qual o arco cujo cosseno é igual a um? Ora é o arco de 0 . Mas sabemos que o arco - π também satisfaz. E agora? Ora pegamos todos os arcos. Então se

x = a r c c o s ( 1 )

Logo

x =   2 k π ;   k ∈ Z

letra c )

c o s   x   =   − √ 2 / 2

Como queremos x , vamos aplicar a função inversa do cosseno. Fazendo isso temos:

a r c c o s ( c o s   x )   =   a r c c o s ( − √ 2 / 2 ) .

⇒ x = a r c c o s ( − √ 2 / 2 )

Então fazemos a pergunta: Qual o arco cujo cosseno é igual a − √ 2 / 2 ? Ora é o arco de 3 π / 4   ( 135 ° ) . Mas sabemos que o arco 5 π /4 também satisfaz. E agora? Ora pegamos todos os arcos. Então se

x = a r c c o s ( − √ 2 / 2 )

Logo

x = 3 π / 4   +   2 k π ;   k ∈ Z

ou

x = 5 π / 4   +   2 k π ;   k ∈ Z

Passo 2

letra d )

c o s   x   =   0 ,   x   ∈   [ 0 ,   π ] .

Como vimos na letra a)

c o s   x   =   0 ⇒   x = π / 2   +   k π ;   k   ∈   Z

Mas como temos a condição que

x   ∈   [ 0 ,   π ]

⇒ x = π / 2

letra e )

c o s   x   =   1 ,   x   ∈   [ 0 ,   π ] .

Como vimos na letra b)

c o s   x   =   1 ⇒   x =   2 k π ;   k   ∈   Z

Mas como temos a condição que

x   ∈   [ 0 ,   π ]

⇒ x = 0

letra f

c o s   x   =   − √ 2 / 2     ∈   [ 0 ,   π ] .

Como vimos na letra c)

c o s   x   =   − √ 2 / 2

x = 3 π / 4   +   2 k π ;   k ∈ Z

ou

x = 5 π / 4   +   2 k π ;   k ∈ Z

Mas como temos a condição que

x   ∈   [ 0 ,   π ]

⇒ x = 3 π / 4

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento acima

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Faça o gráfico da função f ( x ) = s e n ( 1 x ) Qual o domínio e a imagem de f ? f é uma função periódica? Justifique sua resposta.
Esboce o gráfico.y = x sen (1)/(x)
Determine o domínio e esboce o gráfico.f (x) = cosec x
Mostre que para todo x , com cos (x)/(2) != 0 , tem-se:sen x = (2 tg (x)/(2))/(1 + tg^2 (x)/(2))
Nos exercícios 39-42, expresse a quantidade em termos de sen ⁡ x e cos ⁡ x .39. cos ⁡ ( π + x )