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Exercícios Resolvidos de Funções Trigonométricas – Parte 1

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Enunciado

Determine as imagens das funções abaixo:

  1. f x = 4 s e n ( x )
  2. f x = cos ⁡ x 3
  3. f x = 3 ⋅ s e n x
  4. f x = 1 2 cos ⁡ x

Passo 1

Opaaaaa! Precisamos determinar a imagem I m f de cada uma das funções, certo?!

Então vamos lá!

Na letra (a) temos a função   f x = 4 sen ⁡ ( x ) .

A função sen ⁡ ( x ) está entre - 1 e 1 :

- 1 ≤ s e n ⁡ ( x ) ≤ 1

Agora vamos multiplicar essa desigualdade toda por 4 , pois o que queremos saber é a variação da função f x = 4 sen ⁡ ( x ) , lembra?

4 × - 1 ≤ 4 s e n ⁡ ( x ) ≤ 4 1

Assim,

- 4 ≤ 4 s e n ⁡ ( x ) ≤ 4

Ou seja, a I m f = - 4,4 .

Passo 2

b) Na letra (b) temos a função f x = cos ⁡ x 3 .

Sabemos que a função cos ⁡ x deve estar entre - 1 e 1 :

- 1 ≤ c o s ⁡ ( x ) ≤ 1

Certo? Como a nossa função é f x = cos ⁡ x 3 então vamos dividir toda a desigualdade por 3 :

- 1 3 ≤ cos ⁡ x 3 ≤ 1 3

Olha aíí!! Dessa forma, I m f = - 1 3 , 1 3 . Show de bola?!

Passo 3

  1. Vamos seguir o mesmo raciocínio para f x = 3 ⋅ sen ⁡ ( x ) !!

Sabemos que a função sen ⁡ ( x ) está entre - 1 e 1 :

- 1 ≤ sen ⁡ x ≤ 1

Agora vamos multiplicar a desigualdade por 3 :

3 ( - 1 ) ≤ 3 s e n ⁡ ( x ) ≤ 3 1

Assim,

- 3 ≤ 3 s e n ⁡ ( x ) ≤ 3

Ou seja, I m f = - 3 , 3

Passo 4

Pra fechar com chave de ouro, para a função da letra (d) f x = 1 2 cos ⁡ x vamos utilizar o mesmo raciocínio!!!

Se

- 1 ≤ cos ⁡ x ≤ 1

Então, basta multiplicarmos toda a desigualdade por 1 2 :

1 2 - 1 ≤ 1 2 c o s ⁡ ( x ) ≤ 1 2 1

Assim,

- 1 2 ≤ 1 2 s e n ⁡ ( x ) ≤ 1 2

Ou seja, I m f = - 1 2 , 1 2 .

Show de bola?!?!

Resposta

  1. I m f = - 4,4 .
  2. I m f = - 1 3 , 1 3
  3. I m f = - 3 , 3
  4. I m f = - 1 2 , 1 2

Exercícios de Livros Relacionados

Faça o gráfico da função f ( x ) = s e n ( 1 x ) Qual o domínio e a imagem de f ? f é uma função periódica? Justifique sua resposta.
Esboce o gráfico.y = x sen (1)/(x)
Determine o domínio e esboce o gráfico.f (x) = cosec x
Mostre que para todo x , com cos (x)/(2) != 0 , tem-se:sen x = (2 tg (x)/(2))/(1 + tg^2 (x)/(2))
Nos exercícios 39-42, expresse a quantidade em termos de sen ⁡ x e cos ⁡ x .39. cos ⁡ ( π + x )