18. Sejam e números reais tais que
Para todo . Sabendo que , então é igual a
Sugestão: Verifique o que acontece quando e quando .
Passo 1
Oi, galerinha! Tudo bom? O problema nos forneceu a seguinte equação,
E quer saber quanto vale a .
Como temos vários senos e cossenos, vamos ter que usar algumas relações trigonométricas.
Bora lá!
Passo 2
Vamos começar olhando para o lado da equação onde há mais icognitas. Repara que dentro do cosseno temos uma subtração. Então vamos aplicar essa regrinha aqui:
Aplicando, ficamos com,
Então podemos escrever a nossa igualdade assim,
Repara que agora temos uma parte seno e cosseno de cada lado para comparar.
Passo 3
O problema sugere para verificarmos o que acontece quando .
Isolando , ficamos com:
Ele também pede para verificarmos quando
Temos então:
Passo 4
Pra juntar as duas informações que achamos no passo anterior, vamos substituir o valor de A da primeira equação na segunda equação:
Logo,
Agora precisamos achar esse ângulo!
E o ângulo que tem tangente igual a 2/3 é
Passo 5
Voltando para uma das equações para encontrar .
Prontinho!