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Exercícios Resolvidos de Funções Trigonométricas – Parte 1

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Enunciado

UFSC, Sem Campus, Pré-Cálculo, Listas Pré Cálculo - Lista 14, Questão 6

A função f   :   [ 0 ,   π ]   →   [ − 1 ,   1 ]   dada por f ( x )   =   c o s   x é bijetora . Sua inversa f - 1 :   [ − 1 ,   1 ]   → [ 0 ,   π ] é denotada por f - 1 ( x )   =   a r c c o s   x . Calcule o que se pede.

  1. a r c c o s   1 .
  2. a r c c o s ( √ 3 / 2 ) .
  3. a r c c o s ( √ 2 / 2 ) .
  4. a r c c o s ( 1 / 2 ) .
  5. a r c c o s   0 .
  6. a r c c o s ( − 1 / 2 ) .
  7. a r c c o s ( − √ 2 / 2 ) .
  8. a r c c o s ( − √ 3 / 2 ) .
  9. a r c c o s ( − 1 ) .

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de pré-cálculo . Nosso objetivo é calcular os valores de cada expressão. Para isso, vale lembrar que

a r c c o s ( x ) = c o s - 1 ( x )

Isso é

c o s ( a r c c o s ( x ) ) = x

Contudo

a r c c o s ( c o s ( x ) ) = x   s e

x ∈   [ - π / 2 ,   π / 2   ]

Bem vamos começar pela letra a )

a r c c o s   1

Então fazemos a pergunta: Qual o arco cujo cosseno é igual a um? Ora é o arco de 0 . Então se

x = a r c c o s ( 1 )

Logo

x =   2 k π ;   k ∈ Z

letra b )

a r c c o s ( √ 3 / 2 ) .

Então fazemos a pergunta: Qual o arco cujo cosseno é igual a √ 3 / 2 ? Ora é o arco de π / 6   ( 30 ° ) . Mas sabemos que o arco - π / 6 também satisfaz. E agora? Ora pegamos todos os arcos. Então se

x = a r c c o s ( √ 3 / 2 )

temos que

x = π / 6   +   2 k π ;   k ∈ Z

ou

x = - �� / 6   +   2 k π ;   k ∈ Z

letra c )

a r c c o s ( √ 2 / 2 ) .

Então fazemos a pergunta: Qual o arco cujo cosseno é igual a √ 2 / 2 ? Ora é o arco de π / 4   ( 45 ° ) . Mas sabemos que o arco - π / 4 também satisfaz. E agora? Ora pegamos todos os arcos. Então se

x = a r c c o s ( √ 2 / 2 )

temos que

x = π / 4   +   2 k π ;   k ∈ Z

ou

x = - π / 4   +   2 k π ;   k ∈ Z

letra d )

a r c c o s ( 1 / 2 ) .

Então fazemos a pergunta: Qual o arco cujo cosseno é igual a 1 / 2 ? Ora é o arco de π / 3   ( 60 ° ) . Mas sabemos que o arco - π / 6 também satisfaz. E agora? Ora pegamos todos os arcos. Então se

x = a r c c o s ( 1 / 2 )

temos que

x = π / 3   +   2 k π ;   k ∈ Z

ou

x = - π / 3   +   2 k π ;   k ∈ Z

letra e )

a r c c o s ( 0 ) .

Então fazemos a pergunta: Qual o arco cujo cosseno é igual a 0 ? Ora é o arco de π / 2   ( 90 ° ) . Mas sabemos que o arco - π / 2 também satisfaz. E agora? Ora pegamos todos os arcos. Então se

x = a r c c o s ( 0 )

temos que

x = π / 2   +   k π ;   k ∈ Z

Passo 2

letra f )

a r c c o s ( - 1 / 2 ) .

Então fazemos a pergunta: Qual o arco cujo cosseno é igual a - 1 / 2 ? Ora é o arco de 2 π / 3   ( 120 ° ) . Mas sabemos que o arco 4 π / 6 também satisfaz. E agora? Ora pegamos todos os arcos. Então se

x = a r c c o s ( - 1 / 2 )

temos que

x = 2 π / 3   +   2 k π ;   k ∈ Z

ou

x = 4 π / 3   +   2 k π ;   k ∈ Z

letra g )

a r c c o s ( - √ 2 / 2 ) .

Então fazemos a pergunta: Qual o arco cujo cosseno é igual a - √ 2 / 2 ? Ora é o arco de 3 π / 4   ( 135 ° ) . Mas sabemos que o arco 5 π / 4 também satisfaz. E agora? Ora pegamos todos os arcos. Então se

x = a r c c o s ( - √ 2 / 2 )

temos que

x = 3 π / 4   +   2 k π ;   k ∈ Z

ou

x = 5 π / 4   +   2 k π ;   k ∈ Z

letra h )

a r c c o s ( - √ 3 / 2 ) .

Então fazemos a pergunta: Qual o arco cujo cosseno é igual a - √ 3 / 2 ? Ora é o arco de 5 π / 6   ( 150 ° ) . Mas sabemos que o arco 7 π / 6 também satisfaz. E agora? Ora pegamos todos os arcos. Então se

x = a r c c o s ( - √ 3 / 2 )

temos que

x = 5 π / 6   +   2 k π ;   k ∈ Z

ou

x = 7 π / 6   +   2 k π ;   k ∈ Z

E por fim temos que a letra i )

a r c c o s   - 1

Então fazemos a pergunta: Qual o arco cujo cosseno é igual a - 1 ? Ora é o arco de π   ( 180 ° )   Então se

x = a r c c o s ( - 1 )

Logo

x = π   +   2 k π ;   k ∈ Z

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento acima

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Faça o gráfico da função f ( x ) = s e n ( 1 x ) Qual o domínio e a imagem de f ? f é uma função periódica? Justifique sua resposta.
Esboce o gráfico.y = x sen (1)/(x)
Determine o domínio e esboce o gráfico.f (x) = cosec x
Mostre que para todo x , com cos (x)/(2) != 0 , tem-se:sen x = (2 tg (x)/(2))/(1 + tg^2 (x)/(2))
Nos exercícios 39-42, expresse a quantidade em termos de sen ⁡ x e cos ⁡ x .39. cos ⁡ ( π + x )