Listas de C1 - Profº Fernando Manfio de Cálculo 1 da USP - Lista 5
Cálculo 1 - USP
Sejam e duas funções definidas em , com para todo , tais que e . Calcule, caso exista, .
Ver solução completaConsidere uma função e um número real de modo que . Suponha que exista um número tal que , para todo .
Prove que
- Use o limite em para calcular:
Considere uma função e um número real de modo que . Suponha que exista um número tal que , para todo .
Prove que
- Use o limite em para calcular:
Certas fórmulas que representam quantidades físicas podem conduzir a limites que envolvam infinito. Claramente, uma grandeza física não pode tender para infinito, mas uma análise de uma situação hipotética em que tal fato pudesse ocorrer, pode sugerir usos para outras quantidades relacionadas. Vejamos os seguintes exemplos.
A lei de Ohm na teoria da eletricidade afirma que , onde é a resistência (em ohms) de um condutor, é a diferença de potencial (em volts) através do condutor e é a corrente (em ampères) que passa pelo condutor. A resistência de certas ligas tende para zero quando a temperatura se aproxima do zero absoluto (aproximadamente ), e a liga se torna um supercondutor de eletricidade. Se a voltagem é fixa, então, para esse
supercondutor,
isto é, a corrente aumenta sem limite. Os supercondutores permitem que grandes correntes sejam usadas em usinas geradoras ou motores. Eles têm também aplicações no transporte terrestre a alta velocidade, no qual o forte campo magnético produzido por magnetos supercondutores permitem que os trens levitem, não havendo essencialmente fricção entre as rodas e os trilhos. Possivelmente a utilização mais importante para os supercondutores está nos circuitos para computadores, porque esses circuitos produzem pouquíssimo calor.
Ver solução completaA lei da gravitação universal de Newton diz que “toda partícula no universo atrai toda outra partícula com uma força proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre as partículas." Em símbolos,
onde é a força que atua em cada partícula, são as massas das partículas, é a distância entre elas e é uma constante gravitacional. Supondo constante, obtemos
Isto nos diz que à medida que a distância entre as partículas aumenta sem limite, a força de atração tende para . Teoricamente, sempre há alguma atração; entretanto, se é muito grande, a atração já não pode ser medida com o equipamento de laboratório convencional
Ver solução completaUma concentração de água salgada na base de de sal por litro de água corre para um tanque que contém inicialmente de água pura.
- Se o fluxo de água salgada para o tanque é de litros por minuto, determine o volume de água e a quantidade de sal no tanque após minutos.
- Estabeleça uma fórmula para a concentração de sal (em ) após minutos.
- O que ocorre com depois de um longo período de tempo?
Uma concentração de água salgada na base de de sal por litro de água corre para um tanque que contém inicialmente de água pura.
- Se o fluxo de água salgada para o tanque é de litros por minuto, determine o volume de água e a quantidade de sal no tanque após minutos.
- Estabeleça uma fórmula para a concentração de sal (em ) após minutos.
- O que ocorre com depois de um longo período de tempo?
Uma concentração de água salgada na base de de sal por litro de água corre para um tanque que contém inicialmente de água pura.
- Se o fluxo de água salgada para o tanque é de litros por minuto, determine o volume de água e a quantidade de sal no tanque após minutos.
- Estabeleça uma fórmula para a concentração de sal (em ) após minutos.
- O que ocorre com depois de um longo período de tempo?