Considere uma função f e um número real p de modo que lim x → p +   ⁡ f ( x ) = 0 . Suponha que exista um número r > 0 tal que f x > 0 , para todo p > x > p + r .

Prove que

lim x → p +   ⁡ 1 f x = + ∞     ( 1 )

  1. Use o limite em ( 1 ) para calcular:

lim x → 1 +   ⁡ 1 x - 1

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa afirmação aqui

q u a n d o   lim x → p +   ⁡ f ( x ) = 0 ,   t e m o s lim x → p +   ⁡ 1 f x = + ∞

E pede para calcular esse limite:

lim x → 1 +   ⁡ 1 x - 1

E agora?

Quando temos uma função que tende a zero no denominador, o resultado desse limite tende a números cada vez maiores conforme o limite mais se aproxima de zero. Mas precisamos perceber se o limite explode para mais ou menos infinito!

E isso vai ser dado pelo sinal do que teremos embaixo! Mas relaxa, vou fazer contigo!

Beleza?

Bora lá!

Passo 2

Queremos calcular esse limite aqui

lim x → 1 +   ⁡ 1 x - 1

Sabemos que x tende a 1 pela direita, isso significa que nos aproximamos de 1 por valores maiores do que 1 . Tudo bem?

Então quando fizermos

x - 1

Teremos um resultado perto de zero, mas pouco maior do que 0 , porque 1 é levemente maior do que 1

Sendo assim temos um sinal positivo no denominador! E nosso limite

lim x → 1 +   ⁡ 1 x - 1 = 1 0 + = + ∞

E é isso! Até a próxima!

Resposta

+ ∞

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Faça o gráfico da função f x = sin ⁡ π x do Exemplo 4 na janela retangular - 1,1 por - 1,1 . Então dê um zoom em direção à origem diversas vezes. Comente o comportamento dessa função.
Estime o valor do limite lim x → 0 ⁡ 1 + x 1 x Com 5 casas decimais. Esse número lhe parece familiar?Confirme sua resposta da letra (a) fazendo o gráfico da função.
Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.14)lim x → 0 - ⁡ f x = 1 , lim x → 0 + ⁡ f x = - 1 ,lim x → 2 - ⁡ f x = 0 ,lim x → 2 + ⁡ f x = 1 , f 2 = 1 ,f 0
Use o gráfico da função f x = 1 1 + e 1 x Para dizer o valor de cada limite, se existir. Se não existir, explique por quê. lim x → 0 - ⁡ f x lim x → 0 + ⁡ f x lim x → 0 ⁡ f ( x )
Para a função f cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, diga o por quê. lim x → 1 - ⁡ f x lim x → 1 + ⁡ f x lim x → 1 ⁡ f x lim x → 5 ⁡ f x f ( 5