Considere uma função f e um número real p de modo que lim x → p +   ⁡ f ( x ) = 0 . Suponha que exista um número r > 0 tal que f x > 0 , para todo p > x > p + r .

Prove que

lim x → p +   ⁡ 1 f x = + ∞

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa afirmação aqui

lim x → p +   ⁡ f ( x ) = 0

E faz uma afirmação:

Prove que lim x → p +   ⁡ 1 f x = + ∞

E agora, como mostrar isso?

Vamos usar uma propriedade dos limites: o limite do quociente é o quociente dos limites!

E lembrando que um número dividido por um número muuuito pequeno resulta em um valor gigante, podemos mostrar o que é pedido!

Bora lá!

Passo 2

Usando a propriedade dos limites do quociente temos

lim x → p +   ��� 1 f x = lim x → p +   ⁡ 1 lim x → p +   ⁡ f ( x )

Tudo bem até aqui?

Pelo enunciado

lim x → p +   ⁡ f ( x ) = 0

E sabemos que

lim x → p +   ⁡ 1 = 1

Então nosso limite fica

lim x → p +   ⁡ 1 f x = 1 0

Mas não temos exatamente zero no denominador! Temos algo que se aproxima muito! Pois o que temos é o limite! Sendo assim temos uma constante dividida por um limite que tende a zero, então nosso resultado explode para o infinito!

lim x → p +   ⁡ 1 f x = lim x → p +   ⁡ 1 lim x → p +   ⁡ f ( x ) = + ∞

E é isso! Até a próxima!

Resposta

d e m o n s t r a ç ã o

Exercícios de Livros Relacionados