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Exercícios Resolvidos de Limites Laterais e Existência do Limite

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Enunciado

USP– Cálculo 1 – Lista 5 – Questão 6d

Calcule os seguintes limites

d )   lim x → 0 + ⁡ sin ⁡ x x 3 - x 2

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Antes de começar essa questão, precisamos lembrar disso aqui

q u a n d o   lim x → p +   ⁡ f ( x ) = 0 ,   t e m o s lim x → p +   ⁡ 1 f x = + ∞

E pede para calcular esse limite:

lim x → 0 + ⁡ sin ⁡ x x 3 - x 2

E agora?

Quando temos uma função que tende a zero no denominador, o resultado desse limite tende a números cada vez maiores conforme o limite mais se aproxima de zero. Mas precisamos perceber se o limite explode para mais ou menos infinito!

E isso vai ser dado pelo sinal do que teremos embaixo! Mas relaxa, vou fazer contigo!

Beleza?

Bora lá!

Passo 2

Queremos calcular esse limite aqui

lim x → 0 + ⁡ sin ⁡ x x 3 - x 2 = lim x → 0 + ⁡ sin ⁡ x x 2 x - 1 = lim x → 0 + ⁡ sin ⁡ x x . 1 x ( x - 1 )

Podemos separar no produto de dois limites

lim x → 0 + ⁡ sin ⁡ x x ⏝ = 1 .   lim x → 0 + ⁡ 1 x ( x - 1 )

x tende a 0 pela direita, isso significa que nos aproximamos de 0 por valores maiores do que 0 . Tudo bem?

Então quando fizermos

x ⏝ = + x - 1 ⏝ = - = -

Teremos um resultado perto de zero, mas pouco menor do que 0 , porque x é levemente maior do que 0 e temos um produto com sinais diferentes.

Sendo assim temos um sinal negativo no denominador! E nosso limite

lim x → 0 + ⁡ 1 x ( x - 1 ) = 1 0 - = - ∞

E é isso! Até a próxima!

Resposta

- ∞

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