Calcule os seguintes limites

h = lim (x → +∞) (raiz(x) + cubo(x)) / (x² + 3)

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Temos que calcular o seguinte limite

l i m x → + ∞ x + x 3 x 2 + 3

Aqui não temos exatamente a razão entre dois polinômios, mas a análise de grau do expoente no denominador e numerador ainda nos ajudam a determinar o método de resolução! Saca só!

Passo 2

Substituição direta resulta em uma indeterminação do tipo ∞ / ∞ , então se puder e quiser usar L’hospital sinta-se a vontade! Eu em particular vou fazer o seguinte! Dividindo o nosso limite em dois, temos que

l i m x → + ∞ x + x 3 x 2 + 3 = l i m x → + ∞ x x 2 + 3 + l i m x → + ∞ x 3 x 2 + 3

se dividirmos ambos os numeradores e denominadores por x , iremos obter

l i m x → + ∞ x x 2 + 3 + l i m x → + ∞ x 3 x 2 + 3 = l i m x → + ∞ x / x x 2 / x + 3 / x + l i m x → + ∞ x 3 / x x 2 / x + 3 / x

entrando dentro das raízes ajustando o expoente de maneira adequada, temos que

l i m x → + ∞ x / x x 2 / x + 3 / x + l i m x → + ∞ x 3 / x x 2 / x + 3 / x = l i m x → + ∞ x / x 2 x + 3 / x + l i m x → + ∞ x / x 3 3 x + 3 / x = l i m x → + ∞ 1 / x x + 3 / x + l i m x → + ∞ 1 / x 2 3 x + 3 / x

Avaliando os limites agora, temos que

l i m x → + ∞ 1 / x x + 3 / x + l i m x → + ∞ 1 / x 2 3 x + 3 / x = l i m x → + ∞ 0 ∞ + 0 + l i m x → + ∞ 0 3 ∞ + 0 = 0

Já que temos uma constante dividida infinitamente que resulta em um número infinitamente pequeno (ou melhor, zero), e raízes de zero são necessariamente zero, portanto

l i m x → + ∞ x + x 3 x 2 + 3 = 0

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

l i m x → + ∞ x + x 3 x 2 + 3 = 0

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