Calcule os seguintes limites

(g) lim (x → -∞) (raiz cúbica(x^3 + 2x - 1)) / (raiz(x^2 + x + 1))

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Temos que calcular o seguinte limite

l i m x → - ∞ x 3 + 2 x - 1 3 x 2 + x + 1

Aqui não temos exatamente um limite de dois polinômios, mas note que o maior grau do denominador e o maior grau do numerador estão ainda relacionados, e isso nos permitirá estabelecer uma resolução! Vamos usar o método de dividir pelo maior grau e ver o que obtemos!

Passo 2

Substituição direta resulta em uma indeterminação do tipo ∞ / ∞ , então se puder e quiser usar L’hospital sinta-se a vontade! Eu em particular vou fazer o seguinte! Note que o na raiz cúbica do numerador temos um polinômio com maior grau sendo três, ou seja, no infinito a relevância principal será de grau um, analogamente, o mesmo pode ser dito para o denominador, vamos então, dividir tudo por x , temos que

l i m x → - ∞ x 3 + 2 x - 1 3 x 2 + x + 1 = l i m x → - ∞ x 3 + 2 x - 1 3 / x x 2 + x + 1 / x = l i m x → - ∞ x 3 / x 3 + 2 x / x 3 - 1 / x 3 3 x 2 / x 2 + x / x 2 + 1 / x 2

note que para entrar nas respectivas raízes, precisamos aumentar o grau de maneira coerente, simplificando, temos agora que

l i m x → - ∞ x 3 / x 3 + 2 x / x 3 - 1 / x 3 3 x 2 / x 2 + x / x 2 + 1 / x 2 = l i m x → - ∞ 1 + 2 / x 2 - 1 / x 3 3 1 + 1 / x + 1 / x 2

se avaliarmos o limite agora, temos que

l i m x → - ∞ 1 + 2 / x 2 - 1 / x 3 3 1 + 1 / x + 1 / x 2 = 1 + 0 - 0 3 1 + 0 + 0 = 1

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

l i m x → - ∞ x 3 + 2 x - 1 3 x 2 + x + 1 = 1

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