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Exercícios Resolvidos de Limite com Mudança de Variável para Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

UFABC. Cálculo. Funções de Várias Variáveis. Lista 2. Questão 10.

10 – Calcule

lim ( h , k ) → 0,0 ⁡ f x + h , y + k - f x , y - 2 x h - k h 2 + k 2

onde f x , y = x 2 + y .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Essa questão muito bacana, nela vamos calcular o limite de uma função f por uma formulinha que já foi dada no enunciado. Essa formula é

lim ( h , k ) → 0,0 ⁡ f x + h , y + k - f x , y - 2 x h - k h 2 + k 2

Mas perai! Tem um negócio de h , k , f x + h , y + k ... que atrocidades são essas?? 🤔🤔

Calma, digamos que esses valores são apenas “complementos” das variáveis.

Perceba a diferença de f x , y e f x + h , y + k , no termo x foi acrescentado um outro termo h , já no y foi acrescentado um termo k .

Nesses casos, podemos começar escrevendo a função f x + h , y + k . Pra isso, no lugar de x , colocamos x + h , no lugar de y colocamos y + k

f x + h , y + k = x + h 2 + y + k

Com isso podemos começar a calcular nosso limite.

Passo 2

Substituindo as informações que temos na formulinha do limite, temos

lim ( h , k ) → 0,0 ⁡ f x + h , y + k - f x , y - 2 x h - k h 2 + k 2

lim ( h , k ) → 0,0 ⁡ x + h 2 + y + k - x 2 + y - 2 x h - k h 2 + k 2

Resolvendo a potência, temos

lim ( h , k ) → 0,0 ⁡ x 2 + 2 x h + h 2 + y + k - x 2 - y - 2 x h - k h 2 + k 2

lim ( h , k ) → 0,0 ⁡ h 2 h 2 + k 2

Elevando os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz do denominador

lim ( h , k ) → 0,0 ⁡ h 4 h 2 + k 2

Ainda não podemos fazer a substituição de k e h por 0 , pois teríamos uma indeterminação. Para contornar este problema, podemos converter h e k para coordenadas polares, escrevendo h como r c o s θ , k como r s e n θ e as coordenadas h , k para r . Veja só

lim r → 0 ⁡ r c o s θ 4 r c o s θ 2 + r s e n θ 2

Resolvendo as potências

lim r → 0 ⁡ r 4 cos 4 ⁡ θ r 2 c o s 2 θ + r 2 s e n 2 θ

Botando r 2 em evidência no denominador

lim r → 0 ⁡ r 4 cos 4 ⁡ θ r 2 c o s 2 θ + s e n 2 θ

Com essa mudança, podemos ver que conseguimos cortar r 2 do denominador e sabemos que o s 2 θ + s e n 2 θ = 1 , logo

lim r → 0 ⁡ r 2 cos 4 ⁡ θ 1

Agora sim, substituindo r por 0 , temos

lim r → 0 ⁡ 0 2 cos 4 ⁡ θ = 0

Passo 3

Depois de todo esse processo, encontramos o resultado do limite como sendo 0 . Ou seja

lim ( h , k ) → 0,0 ⁡ f x + h , y + k - f x , y - 2 x h - k h 2 + k 2 = 0

Imagino que a maior dificuldade seja compreender que podemos substituir as coordenadas cartesianas por coordenadas polares, mas é bastante comum quando temos a soma do quadrado de duas variáveis no denominador, como tínhamos h 2 + k 2 .

Por fim, o limite

lim ( h , k ) → 0,0 ⁡ f x + h , y + k - f x , y - 2 x h - k h 2 + k 2

Quando

f x , y = x 2 + y

Resulta em 0 .

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

lim ( h , k ) → 0,0 ⁡ f x + h , y + k - f x , y - 2 x h - k h 2 + k 2 = 0

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