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Exercícios Resolvidos de Limite com Mudança de Variável para Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

UFABC – Lista 2 . 2018.3 – 3b

Utilize coordenadas polares para determinar o limite. [Se r , θ são as coordenadas polares do ponto x , y , com r ≥ 0 , observe que r → 0 + quando x , y → 0,0 .]

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 + y 2 ln ⁡ x 2 + y 2

Passo 1

Show de bola, galera. Nosso primeiro passo será lembrar a substituição que fazemos para trabalhar com coordenadas polares:

x = r ∙ cos ⁡ θ y = r ∙ sen ⁡ θ

Em seguida, aproveitando a dica no enunciado de que r → 0 + quando x , y → 0,0 , vamos reescrever o limite do enunciado da seguinte forma:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 + y 2 ln ⁡ x 2 + y 2 → ∴ lim r → 0 + ⁡ r 2 cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ ⏟ = 1 ln ⁡ r 2 cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ ⏟ = 1

Passo 2

Resolvendo o limite:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 + y 2 ln ⁡ x 2 + y 2 = lim r → 0 + ⁡ r 2 ln ⁡ r 2 = lim r → 0 + ⁡ ln ⁡ r 2 1 r 2 →     L ' H o p i t a l     lim r → 0 + ⁡ 2 r r 2 - 2 r 3

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 + y 2 ln ⁡ x 2 + y 2 = lim r → 0 + ⁡ 2 r r 2 - 2 r 3 = lim r → 0 + ⁡ - r 2 = 0

Resposta

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 + y 2 ln ⁡ x 2 + y 2 = 0

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Calcular os limites seguintes:a) underset([[x - 1],[y - 2]])(lim) (e^(x y) - e^y + 1)
Calcular os limites seguintes:h) underset([[x - 1],[y - 2]])(lim) ln [(x y - 1)/(2 x y + 4)]
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Calcular os seguintes limites de funções compostas:d) lim x → 4 y → 2 ⁡ ln ⁡ x 2 + y 2 x - y + 1