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Exercícios Resolvidos de Limite com Mudança de Variável para Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Calcule

lim x , y → 0,0 ⁡ e - x 2 - y 2 - 1 x ² + y 2

Passo 1

A primeira coisa a fazer é substituir os valores de x e y .

lim x , y → 0,0 ⁡ e - x 2 - y 2 - 1 x ² + y 2 = e 0 - 1 0 + 0 = 0 0

Temos uma indeterminação.

Passo 2

Repara que temos uma função se repetindo ali no limite, no caso essa função é x ² + y 2 . Veja:

lim x , y → 0,0 ⁡ e - ( x 2 + y 2 ) - 1 x ² + y 2

Podemos usar a mudança de variáveis

u = x 2 + y 2

Além disso

x , y → 0,0 ⇒ u → 0 ² + 0 2 = 0

Então

u → 0

Passo 3

Esse limite vai ficar

lim x , y → 0,0 ⁡ e - ( x 2 + y 2 ) - 1 x + y 2 = lim u → 0 ⁡ e - u - 1 u

Agora temos um limite onde podemos usar regra de L’hospital.

Temos que resolver

lim u → 0 ⁡ e - u - 1 u

Passo 4

Já vimos que dá uma indeterminação do tipo 0 0 então vamos usar L’hospital

lim u → 0 ⁡ e - u - 1 u = lim u → 0 ⁡ - e - u 1 = - 1 1 = - 1

Resposta

lim x , y → 0,0 ⁡ e - x 2 - y 2 - 1 x + y 2 = - 1

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Calcular os limites seguintes:a) underset([[x - 1],[y - 2]])(lim) (e^(x y) - e^y + 1)
Calcular os limites seguintes:h) underset([[x - 1],[y - 2]])(lim) ln [(x y - 1)/(2 x y + 4)]
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Calcular os seguintes limites de funções compostas:d) lim x → 4 y → 2 ⁡ ln ⁡ x 2 + y 2 x - y + 1