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Exercícios Resolvidos de Limite com Mudança de Variável para Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

USP, São Carlos, Calculo 2, Listas de C2 - Grupo Coordenado 2022 - Lista 3 - Módulo 3, Questão 18d

18. Verificar se os limites abaixo existem. Justifique sua resposta.

(d) lim x , y → 1,1 ⁡ y - 1 x 2 - 2 x + y 2 - 2 y + 2

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema temos que verificar se o limite da função f x , y = y - 1 x 2 - 2 x + y 2 - 2 y + 2 para x , y → 1,1 existe ou não.

Parece muito dificil? 👀

O limite de uma função resulta no valor que a função tende a assumir quando x , y tende a um ponto...

Nesse caso podemos parametrizar nossa função em coordenadas polares para tentar facilitar nossas análises.

Dessa forma fazemos x = r cos ⁡ θ , y = r sin ⁡ θ e também r → 0 .

Parece complicado? Veja só! 😬

Passo 2

Se a função f x , y é dada por

f x , y = y - 1 x 2 - 2 x + y 2 - 2 y + 2

Perceba que podemos reescrever o denominador como

f x , y = y - 1 x - 1 2 - 1 + y - 1 2 - 1 + 2

f x , y = y - 1 x - 1 2 + y - 1 2

Como o centro da circunferência expressa por x - 1 2 + y - 1 2 está descolada, temos que fazer x - 1 = r cos ⁡ θ e y - 1 = r sin ⁡ θ .

f r , θ = r sin ⁡ θ r cos ⁡ θ 2 + r sin ⁡ θ 2

f r , θ = r sin ⁡ θ r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ θ

f r , θ = r sin ⁡ θ r 2 cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ

Sabemos das propriedades trigonométricas que cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1 , ou seja

f r , θ = r sin ⁡ θ r 2 = r sin ⁡ θ r

f r , θ = sin ⁡ θ

Bacana, não é? 😊

Passo 3

Calculando o limite dessa “nova” função, temos

lim x , y → 1,1 ⁡ y - 1 x 2 - 2 x + y 2 - 2 y + 2 → lim r → 0 ⁡ sin ⁡ θ

lim r → 0 ⁡ sin ⁡ θ = sin ⁡ θ

Perceba que r não influencia no resultado do limite, mas θ sim...

Isso significa que dependendo da aproximação de θ vamos obter valores divergentes, logo, o limite não existe

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

Não existe

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Calcular os limites seguintes:a) underset([[x - 1],[y - 2]])(lim) (e^(x y) - e^y + 1)
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Calcular os seguintes limites de funções compostas:d) lim x → 4 y → 2 ⁡ ln ⁡ x 2 + y 2 x - y + 1