Exercícios Resolvidos de Limite com Mudança de Variável para Funções de Várias Variáveis
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Calcule ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Bom, essa aí não parece ter nada de muito particular... sem seno, sem cosseno, sem variável pra ensanduichar... Aí não temos nada a perder tentando caminhos aleatórios!
Não é boa ideia tentar caminhos por onde de cara, porque ele está sozinho no numerador... Então, podemos tentar o caminho , em que :
Opa! O limite deu :D Antes encontrar algum valor do que perder tempo com um caminho escolhido errado XD
Passo 2
Agora, devemos escolher outro caminho. Como não podemos zerar o , por que não escolher outro valor constante pra ele? Por exemplo, o caminho :
Como , então fica no denominador e o limite da de novo. Tá, essa não ajudou muito hahaha temos que tentar encontrar um limite diferente desse, para provar que ele não existe! E a aflição é que nem sabemos se ele não existe... vai que ele é mesmo? É chato pra cacete né?
Passo 3
Olha, não consigo pensar em mais nada... Não tive nenhuma sacada com esse desgraçado XD Vamos partir para o teorema do sanduíche? Se fizermos com que o grau da variável a qual está elevado ser igual ao do denominador, teremos como usar o teorema, seja para ensanduichar a função, seja para provar que existe uma que vai pra infinito e que seja menor que a nossa. Se colocarmos , teremos o seguinte:
E agora? Po, exatamente porque temos sendo a única parte variável, podemos substituí-la , por exemplo, e fica um limite simples de uma variável, que poderemos usar L’Hospital!
Derivando em cima e embaixo, por L’Hospital
E encontramos um valor diferente para o limite! Como a função não pode ter limite igual a e igual para um mesmo ponto, então a função não tem limite, exatamente como a zoeira XD
Resposta
O limite não existe!