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Exercícios Resolvidos de Limite com Mudança de Variável para Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

UFF, Cálculo IIB, Listas GMA, Lista 2, exercício 13.

Calcule L , o limite, quando existir. Caso contrário, justifique.

lim x , y → 0,0 ⁡ e 1 x 2 + y 2 ( x 2 + y 2 )

Passo 1

A primeira coisa a fazer é substituir os valores de x e y .

lim x , y → 0,0 ⁡ e 1 x 2 + y 2 ( x 2 + y 2 ) = e 1 0 2 + 0 2 ( 0 ² + 0 2 ) = e 1 0 . 0 = e ∞ . 0 = ∞ . 0

Temos uma indeterminação. Mas, repara que temos uma função se repetindo ali no limite, no caso essa função é x ² + y 2 . Podemos usar a mudança de variáveis

u = x ² + y 2

Além disso

x , y → 0,0 ⇒ u → 0 2 + 0 2 = 0

Então

u → 0

Esse limite vai ficar

lim x , y → 0,0 ⁡ e 1 x 2 + y 2 ( x 2 + y 2 ) = lim u → 0 ⁡ e 1 u . u

Agora temos um limite de uma só variável!

Passo 2

Temos que resolver

lim u → 0 ⁡ e 1 u . u

Repara que se passarmos o u para baixo como u - 1 teremos:

lim u → 0 ⁡ e 1 u u - 1 = ∞ ∞

Opa, então podemos usar L’hospital!

lim u → 0 ⁡ e u - 1 u - 1 = lim u → 0 ⁡ e u - 1 . - u - 2 - u - 2 = lim u → 0 ⁡ e u - 1 = e 1 0 = ∞

Isso nos diz que

lim x , y → 0,0 ⁡ e 1 x 2 + y 2 ( x 2 + y 2 ) = ∞

Logo ele não existe.

Resposta

Não existe.

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Calcular os limites seguintes:a) underset([[x - 1],[y - 2]])(lim) (e^(x y) - e^y + 1)
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Calcular os seguintes limites de funções compostas:d) lim x → 4 y → 2 ⁡ ln ⁡ x 2 + y 2 x - y + 1