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Exercícios Resolvidos de Limite com Mudança de Variável para Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, Listas de Cálculo 2 - Profº Pedro Hinojosa - Lista de Exercícios 5, Questão 2d

Calcule os limites abaixo.

d) lim x ,   y → 0 ,   0 ⁡ e x y - 1 x y

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite da função de duas variáveis, f x ,   y = e x y - 1 x y , quando ( x ,   y ) tende a ( 0 ,   0 ) .

A primeira coisa que nós podemos fazer é verificar se existe alguma indeterminação quando aplicamos o ponto para o qual tende a função. Se isso não ocorrer, podemos aplicar o limite diretamente. Se houver alguma indeterminação, vamos buscar alguma alternativa algébrica pra fugir dela.

Vamos lá!

Passo 2

Para o limite:

lim x ,   y → 0 ,   0 ⁡ e x y - 1 x y

Aplicando x = 0 e y = 0 , na função temos:

= e 0 ∙ 0 - 1 0 ∙ 0 = 1 - 1 0 = 0 0

Portanto, temos uma indeterminação. Para fugir dela vamos usar as coordenas polares, fazendo:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

Substituindo no limite:

lim x ,   y → 0 ,   0 ⁡ e x y - 1 x y = lim r → 0 ⁡ e ( r cos ⁡ θ ) ( r sin ⁡ θ ) - 1 ( r cos ⁡ θ ) ( r sin ⁡ θ )

Multiplicando os termos:

lim r → 0 ⁡ e ( r 2 cos ⁡ θ sin ⁡ θ ) - 1 r 2 cos ⁡ θ sin ⁡ θ

Como o limite depende apenas de r , podemos colocar o 1 / ( cos ⁡ θ sin ⁡ θ ) do lado de fora do limite:

1 cos ⁡ θ sin ⁡ θ ∙ lim r → 0 ⁡ e ( r 2 cos ⁡ θ sin ⁡ θ ) - 1 r 2

Agora pra gente sair dessa indeterminação, vamos usar a Regra de L’Hospital (derivando numerador e denominador separadamente). Assim:

1 cos ⁡ θ sin ⁡ θ ∙ lim r → 0 ⁡ e ( r 2 cos ⁡ θ sin ⁡ θ ) r sin ⁡ ( 2 θ ) 2 r

Simplificando, temos:

1 cos ⁡ θ sin ⁡ θ ∙ lim r → 0 ⁡ e ( r 2 cos ⁡ θ sin ⁡ θ ) sin ⁡ ( 2 θ ) 2

Agora podemos inserir o valor do limite:

1 cos ⁡ θ sin ⁡ θ ∙ e 0 2 ∙ cos ⁡ θ sin ⁡ θ sin ⁡ 2 θ 2

1 cos ⁡ θ sin ⁡ θ ∙ e 0 sin ⁡ 2 θ 2 = sin ⁡ 2 θ 2 cos ⁡ θ sin ⁡ θ

Usando a identidade trigonométrica sin ⁡ 2 θ = 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ , temos:

2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ 2 cos ⁡ θ sin ⁡ θ = 1

Portanto,

lim x ,   y → 0 ,   0 ⁡ e x y - 1 x y = 1

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

1

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