Exercícios Resolvidos de Limite com Mudança de Variável para Funções de Várias Variáveis

Enunciado

Lembrando, as coordenadas polares são:

E assim temos

Então, com as coordenadas polares, nossa expressão dentro do limite vai ser:

E como isso dá:

Estamos calculando o limite nos aproximado da origem, fazendo . E o das coordenadas polares é justamente a distância à origem. Logo,

E como temos um logaritmo, cujo argumento deve ser positivo, vamos nos aproximar de zero só pela direita:

Então, nosso limite é:

Pra gente não se confundir, vamos começar ignorando esse e calcular o limite

Temos uma indeterminação do tipo “”. Vamos botá-la de uma forma que a gente possa usar l’Hôpital:

Pronto, agora ficou melhor!

Pela regra de l’Hôpital, temos

Beleza, deu zero. Então

também.

Voltando pro nosso limite com o seno: