O limite a seguir existe? Se sim, igual a quanto?

Agora, vem uma artimanha que você certamente vai querer ter no sangue: podemos separar a fração

Em

E isso fará o limite ficar assim:

Ok, aí você vira para mim e fala: onde isso nos levou? Isso fez aparecer uma espécie de “limite notável”, que é o:

E o que ele tem de tão legal? Olha o que acontece quando aplicamos o teorema do sanduíche nele:

Certo? Qualquer número ao quadrado, , é maior do que . Por sua vez, é menor do que ele mesmo somado a um outro número ao quadrado qualquer, .

Dividindo tudo por , temos:

E aí está! Chegamos a conclusão de que essa fração é sempre limitada entre e !

Assim, tenha sempre em mente: Se tiver qualquer coisa que possa ser transformada em algo desse molde, tente fazê-la aparecer na equação! Pode ser , ,, sacou? Pode ser qualquer coisa que tenha uma variável igual em cima e embaixo, sempre com soma no denominador e expoentes pares! Aí você prova exatamente como fizemos com o teorema do sanduíche aí em cima ;)

Prosseguindo, temos:

Como sabemos que e que a fração do meio é limitada, o que temos na realidade é:

E, assim, o que temos que ver é o limite de:

Podemos fazer a substituição , e fica:

E, agora, podemos aplicar L’Hospital:

Como o limite de quando é sempre , então temos:

E, assim, o limite, enfim, fica:

Ou seja, o limite existe e é igual a , pois dois dos limites existem e são iguais a , e multiplicam um termo que é limitado :D