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Exercícios Resolvidos de Limite com Mudança de Variável para Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo II, Provas de Cálculo 2 - Profº Filipe Iorio - P1 2023.1, Questão 2c

2) Considere as funções g x , y = x y 4 x 2 + y 8 , h x , y = x y - 1 2 + x - 1 2 y - 1 2 + x - 1 2 e f x , y = g x , y + h x , y .

c. Encontre o valor de a de modo que, definindo f 1,1 = a , a função f seja contínua em 1,1 . Justifique.

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema foi dado que f x , y = g x , y + h x , y sendo g x , y = x y 4 x 2 + y 8 e h x , y = x y - 1 2 + x - 1 2 y - 1 2 + x - 1 2 . Com isso temos que obter um valor de a em que f 1,1 = a de modo que f seja contínua em 1,1 .

Bora ver como fazemos isso? 🤔

Se f x , y = g x , y + h x , y , então

f x , y = x y 4 x 2 + y 8 + x y - 1 2 + x - 1 2 y - 1 2 + x - 1 2

Para f 1,1 = a , f tem que tender a a no ponto 1,1 , ou seja, o limite de f para x , y → 1,1 tem que tender a a .

Como não sabemos qual valor é a , então vamos calcular o limite de f em 1,1 e o resultado do limite é o valor de a .

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Calculando o limite de f , temos

lim x , y → 1,1 ⁡ f x , y → lim x , y → 1,1 ⁡ x y 4 x 2 + y 8 + x y - 1 2 + x - 1 2 y - 1 2 + x - 1 2

Como o limite da soma é igual a soma dos limites, temos

lim x , y → 1,1 ⁡ f x , y = lim x , y → 1,1 ⁡ x y 4 x 2 + y 8 + lim x , y → 1,1 ⁡ x y - 1 2 + x - 1 2 y - 1 2 + x - 1 2

Começando pelo limite de x y 4 x 2 + y 8 pelo método de substituição

lim x , y → 1,1 ⁡ x y 4 x 2 + y 8 = 1 1 4 1 2 + 1 8

lim x , y → 1,1 ⁡ x y 4 x 2 + y 8 = 1

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Agora vamos calcular o limite do segundo termo...

Para calcular esse limite podemos fazer uma mudança de variáveis para coordenadas polares...

Para fazer essa transformação temos que fazer x = r cos ⁡ θ + 1 e y = r sin ⁡ θ + 1 , e calcular o limite para r tendendo a 0 .

Fazendo essa mudança de variáveis, temos

lim x , y → 1,1 ⁡ x y - 1 2 + x - 1 2 y - 1 2 + x - 1 2 → lim r → 0 ⁡ r cos ⁡ θ + 1 r sin ⁡ θ + 1 - 1 2 + r cos ⁡ θ + 1 - 1 2 r sin ⁡ θ + 1 - 1 2 + r cos ⁡ θ + 1 - 1 2

Simplificando...

lim r → 0 ⁡ r cos ⁡ θ + 1 r sin ⁡ θ 2 + r cos ⁡ θ 2 r sin ⁡ θ 2 + r cos ⁡ θ 2

lim r → 0 ⁡ r cos ⁡ θ + 1 r 2 sin 2 ⁡ θ + r 2 cos 2 ⁡ θ r 2 sin 2 ⁡ θ + r 2 cos 2 ⁡ θ

lim r → 0 ⁡ r 3 cos ⁡ θ sin 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ θ + r 2 cos 2 ⁡ θ r 2 sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ

Colocando r 2 em evidência no numerador e simplificando com o denominador, temos

lim r → 0 ⁡ r 2 r cos ⁡ θ sin 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ r 2 sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ

lim r → 0 ⁡ r cos ⁡ θ sin 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ

Sabemos que sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1 , logo

lim r → 0 ⁡ r cos ⁡ θ sin 2 ⁡ θ + 1 1

Fazendo r → 0 , chegamos em

lim r → 0 ⁡ r cos ⁡ θ sin 2 ⁡ θ + 1 1 = 0 + 1 1 = 1

Portanto, temos que

lim x , y → 1,1 ⁡ x y - 1 2 + x - 1 2 y - 1 2 + x - 1 2 = 1

Juntando os resultados, temos

lim x , y → 1,1 ⁡ f x , y = lim x , y → 1,1 ⁡ x y 4 x 2 + y 8 + lim x , y → 1,1 ⁡ x y - 1 2 + x - 1 2 y - 1 2 + x - 1 2

lim x , y → 1,1 ⁡ f x , y = 1 + 1

lim x , y → 1,1 ⁡ f x , y = 2

Portanto, encontramos que a = 2

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

a = 2

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