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Exercícios Resolvidos de Limite com Mudança de Variável para Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Calcule o limite fazendo a substituição z = x 2 + y 2 e observando que z → 0 + se, e somente se, x , y → 0 ,   0 .

lim x , y → 0 ,   0 ⁡ e - 1 x 2 + y 2 x 2 + y 2  

Passo 1

Vamos fazer a substituição que ele recomendou:

z = x 2 + y 2

⇒ lim x , y → 0 ,   0 ⁡ e - 1 x 2 + y 2 x 2 + y 2 = lim z → 0 + ⁡ e - 1 z z  

Beleza, isso virou um limite de uma só variável, estilo cálculo 1!

Passo 2

Repare que nós caímos numa indeterminação do tipo “ 0 0 ”. Mas antes de sair mandando l’Hôpital e se ferrar nas contas, eu tenho uma sugestão: fazer mais uma mudança de variável!

Isso porque o termo 1 z , que não é bacana de se trabalhar, está aparecendo duas vezes no limite. Então vamos definir

u = 1 z

Temos

z → 0 + ⇒ u → + ∞

Então nosso limite ficou:

lim u → + ∞ ⁡ u e - u

Passo 3

Caímos de novo numa indeterminação, agora do tipo “ ∞ × 0 ”. Então vamos melhorar isso aí:

lim u → + ∞ ⁡ u e - u = lim u → + ∞ ⁡ u e u

Ahh, agora sim podemos mandar l’Hôpital!! Aliás, esse limite clássico de cara vemos que vai dar zero. Enfim, derivando vamos ter:

lim u → + ∞ ⁡ u e u = lim u → + ∞ ⁡ 1 e u = 0

Portanto, voltando ao nosso limite inicial, temos:

lim x , y → 0 ,   0 ⁡ e - 1 x 2 + y 2 x 2 + y 2 = 0

Resposta

0

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