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Exercícios Resolvidos de Limite com Mudança de Variável para Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, Listas de Cálculo 2 - Profº Pedro Hinojosa - Lista de Exercícios 5, Questão 2c

Calcule os limites abaixo.

c) lim x ,   y → 0 ,   0 ⁡ x y 2 x 2 + y 2

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite da função de duas variáveis, f x ,   y = x y 2 x 2 + y 2 , quando ( x ,   y ) tende a ( 0 ,   0 ) .

A primeira coisa que nós podemos fazer é verificar se existe alguma indeterminação quando aplicamos o ponto para o qual tende a função. Se isso não ocorrer, podemos aplicar o limite diretamente. Se houver alguma indeterminação, vamos buscar alguma alternativa algébrica pra fugir dela.

Vamos lá!

Passo 2

Para o limite:

lim x ,   y → 0 ,   0 ⁡ x y 2 x 2 + y 2

Aplicando x = 0 e y = 0 , na função temos:

= 0 ∙ 0 2 0 2 + 0 2

Portanto, temos uma indeterminação. Para fugir dela vamos usar as coordenas polares, fazendo:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

Substituindo no limite:

lim x ,   y → 0 ,   0 ⁡ x y 2 x 2 + y 2 = lim r → 0 ⁡ ( r cos ⁡ θ ) ( r sin ⁡ θ ) 2 ( r cos ⁡ θ ) 2 + ( r sin ⁡ θ ) 2

Elevando as potências e multiplicando os termos:

lim r → 0 ⁡ ( r cos ⁡ θ ) ( r 2 sin 2 ⁡ θ ) r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ θ = lim r → 0 ⁡ r 3 cos ⁡ θ sin 2 ⁡ θ r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ θ

Colocando r em evidência:

lim r → 0 ⁡ r 3 cos 3 ⁡ θ r 2 ( cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ )

Usando a identidade cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1 e simplificando, temos:

lim r → 0 ⁡ r 3 cos ⁡ θ sin 2 ⁡ θ r 2 ( 1 ) = lim r → 0 ⁡ r cos ⁡ θ sin 2 ⁡ θ

Dessa forma, quando r → 0 , vamos obter:

= 0 ∙ cos ⁡ θ sin 2 ⁡ θ = 0

Portanto,

lim x ,   y → 0 ,   0 ⁡ x y 2 x 2 + y 2 = 0

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

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