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Exercícios Resolvidos de Limite com Mudança de Variável para Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo II, Provas de Cálculo 2 - Profº Filipe Iorio - P1 2023.1, Questão 2b

2) Considere as funções g x , y = x y 4 x 2 + y 8 , h x , y = x y - 1 2 + x - 1 2 y - 1 2 + x - 1 2 e f x , y = g x , y + h x , y .

b. Sabendo que existe, calcule o limite lim x , y → 1,1 ⁡ h x , y .

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nesse problema foi dada a função h x , y = x y - 1 2 + x - 1 2 y - 1 2 + x - 1 2 e nosso objetivo é determinar o limite de h x , y sabendo que existe.

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Para calcular esse limite podemos fazer uma mudança de variáveis para coordenadas polares...

Para fazer essa transformação temos que fazer x = r cos ⁡ θ + 1 e y = r sin ⁡ θ + 1 , e calcular o limite para r tendendo a 0 .

Dessa forma nosso problema de duas variáveis se transforma em apenas uma variável.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Fazendo essa mudança de variáveis, temos

lim x , y → 1,1 ⁡ x y - 1 2 + x - 1 2 y - 1 2 + x - 1 2 → lim r → 0 ⁡ r cos ⁡ θ + 1 r sin ⁡ θ + 1 - 1 2 + r cos ⁡ θ + 1 - 1 2 r sin ⁡ θ + 1 - 1 2 + r cos ⁡ θ + 1 - 1 2

Simplificando...

lim r → 0 ⁡ r cos ⁡ θ + 1 r sin ⁡ θ 2 + r cos ⁡ θ 2 r sin ⁡ θ 2 + r cos ⁡ θ 2

lim r → 0 ⁡ r cos ⁡ θ + 1 r 2 sin 2 ⁡ θ + r 2 cos 2 ⁡ θ r 2 sin 2 ⁡ θ + r 2 cos 2 ⁡ θ

lim r → 0 ⁡ r 3 cos ⁡ θ sin 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ θ + r 2 cos 2 ⁡ θ r 2 sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ

Colocando r 2 em evidência no numerador e simplificando com o denominador, temos

lim r → 0 ⁡ r 2 r cos ⁡ θ sin 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ r 2 sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ

lim r → 0 ⁡ r cos ⁡ θ sin 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ

Sabemos que sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1 , logo

lim r → 0 ⁡ r cos ⁡ θ sin 2 ⁡ θ + 1 1

Fazendo r → 0 , chegamos em

lim r → 0 ⁡ r cos ⁡ θ sin 2 ⁡ θ + 1 1 = 0 + 1 1 = 1

Portanto, temos que

lim x , y → 1,1 ⁡ x y - 1 2 + x - 1 2 y - 1 2 + x - 1 2 = 1

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

lim x , y → 1,1 ⁡ x y - 1 2 + x - 1 2 y - 1 2 + x - 1 2 = 1

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Calcular os seguintes limites de funções compostas:b) lim x → + ∞ y → + ∞ ⁡ e 1 x + y
Calcular os seguintes limites de funções compostas:d) lim x → 4 y → 2 ⁡ ln ⁡ x 2 + y 2 x - y + 1