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Exercícios Resolvidos de Limite com Mudança de Variável para Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

USP, São Carlos, Calculo 2, Listas de C2 - Grupo Coordenado 2022 - Lista 3 - Módulo 3, Questão 18a

18. Verificar se os limites abaixo existem. Justifique sua resposta.

(a) lim x , y → 0,0 ⁡ y x 2 + y 2

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema temos que verificar se o limite da função f x , y = y x 2 + y 2 para x , y → 0,0 .

Parece muito dificil? 👀

O limite de uma função resulta no valor que a função tende a assumir quando x , y tende a um ponto...

Nesse caso, como temos x 2 + y 2 no denominador, para calcular o limite de f podemos converter nossas coordenadas cartesianas para coordenadas polares.

Pra isso, fazemos x = r cos ⁡ θ , y = r sin ⁡ θ e tambem r tendendo a 0 .

Parece dificil? Bora começar! 😉

Passo 2

A princípio temos

lim x , y → 0,0 ⁡ y x 2 + y 2

Aplicando a conversão para coordenadas polares, vamos obter

lim r → 0 ⁡ r sin ⁡ θ r cos ⁡ θ 2 + r sin ⁡ θ 2

lim r → 0 ⁡ r sin ⁡ θ r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ θ

lim r → 0 ⁡ r sin ⁡ θ r 2 cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ

Pelas propriedades trigonométricas, temos que cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1 , logo

lim r → 0 ⁡ r sin ⁡ θ r 2 → lim r → 0 ⁡ r sin ⁡ θ r

lim r → 0 ⁡ sin ⁡ θ = sin ⁡ θ

A partir desse resultado vemos que o limite de f depende do ângulo θ que fazemos a aproximação, portanto podemos interpretar isso como uma divergência no limite de f , ou seja... o limite não existe!

lim x , y → 0,0 ⁡ y x 2 + y 2 = D i v e r g e

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

lim x , y → 0,0 ⁡ y x 2 + y 2 = D i v e r g e

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29 – 36 Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f no conjunto D.34 -fx ,y = x y 2 , D = x , yx ≥ 0 ,y ≥ 0 ,x 2 + y 2 ≤ 3 }
Calcular os limites seguintes:a) underset([[x - 1],[y - 2]])(lim) (e^(x y) - e^y + 1)
Calcular os limites seguintes:h) underset([[x - 1],[y - 2]])(lim) ln [(x y - 1)/(2 x y + 4)]
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Calcular os seguintes limites de funções compostas:d) lim x → 4 y → 2 ⁡ ln ⁡ x 2 + y 2 x - y + 1